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Divulgación lúdica / Re:Probabilidad en los juegos de mesa: introducción (Borrador-en construcción)
« en: 22 de Febrero de 2024, 11:41:34 »
Distribuciones homogéneas
Tirar 1d6 es una variable aleatoria homogénea, porque cada cara tiene las mismas posibilidades de salir. En este caso, 1/6.
En general, tirar un único dado de cualquier número de caras es una variable aleatoria homogénea (mientras éste sea una forma geométrica regular):
1d4: 25% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 4.
1d6: 16,67% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 6.
1d8: 12,5% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 8.
1d10: 10% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 10.
1d12: 8,33% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 12.
1d20: 5% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 20.
¿De dónde salen estos números de probabilidad? De la fórmula anterior de "casos favorables/ casos posibles". Por ejemplo, en 1d12 el 8,33% es el resultado de dividir 1/12.
A cada uno de estos dados se le puede hacer el tratamiento de "asignarle una dificultad" y tirarlo para intentar sacar cierto resultado o más, dando lugar a un abanico de probabilidades entre muy fácil y muy difícil. Sería como lo que he expuesto del dado de seis en mi anterior post, pero seguramente con más escalones porque casi todos los dados tienen más caras.
El más fácil de ver sería un dado de 10, porque los número salen redondos:
Pr(un 10) = 1/10 = 10%
Pr(9 ó más) = 2/10 = 20%
Pr(8 ó más) = 3/10 = 30%
Pr(7 ó más) = 4/10 = 40%
Pr(6 ó más) = 5/10 = 50%
Pr(5 ó más) = 6/10 = 60%
Pr(4 ó más) = 7/10 = 70%
Pr(3 ó más) = 8/10 = 80%
Pr(2 ó más) = 9/10 = 90%
Distribuciones no homogéneas
Los dados con formas raras no regulares, o los dados cargados no son homogéneos. No sacan cada resultado con la misma probabilidad.
Pero hay una forma muy sencilla de obtener probabilidades no homogéneas utilizando dados regulares, que es sumar sus resultados. El caso más típico es tirar 2d6, y sumar sus resultados. Normalmente decimos "tirar 2d6" y nos olvidamos de decir "sumarlos" pero el tema viene por sumarlos.
El quid está que las sumas muy altas o muy bajas necesitan que ambos dados sean altos o bajos y por tanto tienen menos probabilidad de salir que las sumas medias:
Hay sólo 1 forma de sacar un resultado de 2: un 1 en un dado, un 1 en el otro dado. ¿De dónde sale ese 2,8%? ¿Cómo calculas esta probabilidad?
Pr(sacar "ojos de serpiente" en 2d6) = Pr(sacar un 1 en 1d6)*Pr(sacar un 1 en 1d6)= (1/6)*(1/6)=1/36
¿A que se entiende más fácil de dónde viene?
Sacar una suma de 3 resulta más probable porque hay dos configuraciones que te lo dan: 1+2 y 2+1
Sacar una suma de 4 tiene tres configuraciones: 1+3, 2+2, 3+1
Sacar una suma de 5, tiene cuatro: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1
Sacar una suma de 6, tiene cinco: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
Sacar una suma de 7, tiene seis, y es la que más tiene: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
Y de ahí vamos para abajo. ¿Sois capaces de escribir la configuraciones para el resto de números?
¿Y cómo calculamos la probabilidad de cada resultado en 2d6? Porque con el 2 y con el 12 es fácil (1/6*1/6=1/36), pero el resto no lo veo...
Lo más fácil es considerar que tirando 2d6 obtenemos 36 permutaciones. Una permutación es un posible estado de los engranajes aleatorios que estamos considerando. Las permutaciones son lo que antes he llamado "configuración" y las 36 que hay son:
1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6
2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6
3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6
4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6
5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6
6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6
Una permutación no es un resultado, ya que como el resultado de cada dado se suma, las 36 permutaciones se terminan convirtiendo en 11 resultados: del 2, al 12. Y como antes hemos visto, algunos resultados se consiguen con más permutaciones que otros.
Y esto es lo que nos da la probabilidad de cada número: permutaciones favorables / permutaciones totales.
Sacar un 2: 1 permutación = 1/36
Sacar un 3: 2 permutaciones = 2/36
Sacar un 4: 3 permutaciones = 3/36
Sacar un 5: 4 permutaciones = 4/36
Sacar un 6: 5 permutaciones = 5/36
Sacar un 7: 6 permutaciones = 6/36 = 1/6
Sacar un 8: 5 permutaciones = 5/36
Sacar un 9: 4 permutaciones = 4/36
Sacar un 10: 3 permutaciones = 3/36
Sacar un 11: 2 permutaciones = 2/36
Sacar un 12: 1 permutación = 1/36
Tirar 2d6 es diferente de tirar 1d12 no sólo porque con 2d6 no pueden sacar un "1" y el 1d12 sí. La mayor diferencia entre ambos es que la mayoría de tiradas de 2d6 van a concentrarse alrededor del 7, mientras que en el 1d12 estarán repartidas por todas partes.
¿Y para qué puedo utilizar esto?
En eurogames, múltiples dados sumados ofrecen consistencia, un único dado de rango similar ofrece más abundancia y escasez. Producir 2d3 tomates es más consistente que producir 1d4+1 tomates.
En juegos de guerra donde se tiran 2d6, la probabilidad de crítico (sacar el 12) o pifia (sacar un 2) es muy pequeña, mientras que los resultados bajos o intermedios pueden sacarse o superarse de forma consistente.
En un wargame con modificadores, tener que sacar 5 ó más con 2d6 es algo esperable. Es la probabilidad que un juego le ofrecería al jugador que hace las cosas bien. Por cierto, se puede calcular simplemente sumando la probabilidad de todas ellas (las que he puesto de color azul en el anterior párrafo), así que sería:
(4+5+6+5+4+3+2+1)/36 = 30/36 = 83,33%
Pero tener que sacar 10 ó más con 2d6, es el tiro a ciegas de quien está jugando mal:
(3+2+1)/36= 16,67% ¿Entendéis cómo lo he calculado?
De hecho jugar bien a un juego así consistiría en aprovechar cuantos más modificadores a tu favor para que los resultados intermedios que están alrededor de 7 se consideren "éxito" cada vez que tires. Cuando las cosas están muy chungas (tener que sacar un 11), un +1 apenas te da beneficio (hace que el 10 también sea éxito, pero eso es un +3/36 extra de probabilidad), pero si tienes que sacar un 8, entonces el +1 maximiza el beneficio que te da (hace que el 7 también sea un éxito, eso es un +6/36 extra de probabilidad).
Si haces un juego de rol y defines la "pifia" como sacar el mínimo resultado en la tirada de ataque, entonces el arma más pifiosa lanzaría 1d4 (1/4=25% de pifiar), y la más segura la que más dados lanza o la que lanza el dado más grande. Por ejemplo, con 2d6: (1/36=2,7% de pifiar).
Tirar 1d6 es una variable aleatoria homogénea, porque cada cara tiene las mismas posibilidades de salir. En este caso, 1/6.
En general, tirar un único dado de cualquier número de caras es una variable aleatoria homogénea (mientras éste sea una forma geométrica regular):
1d4: 25% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 4.
1d6: 16,67% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 6.
1d8: 12,5% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 8.
1d10: 10% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 10.
1d12: 8,33% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 12.
1d20: 5% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 20.
¿De dónde salen estos números de probabilidad? De la fórmula anterior de "casos favorables/ casos posibles". Por ejemplo, en 1d12 el 8,33% es el resultado de dividir 1/12.
A cada uno de estos dados se le puede hacer el tratamiento de "asignarle una dificultad" y tirarlo para intentar sacar cierto resultado o más, dando lugar a un abanico de probabilidades entre muy fácil y muy difícil. Sería como lo que he expuesto del dado de seis en mi anterior post, pero seguramente con más escalones porque casi todos los dados tienen más caras.
El más fácil de ver sería un dado de 10, porque los número salen redondos:
Pr(un 10) = 1/10 = 10%
Pr(9 ó más) = 2/10 = 20%
Pr(8 ó más) = 3/10 = 30%
Pr(7 ó más) = 4/10 = 40%
Pr(6 ó más) = 5/10 = 50%
Pr(5 ó más) = 6/10 = 60%
Pr(4 ó más) = 7/10 = 70%
Pr(3 ó más) = 8/10 = 80%
Pr(2 ó más) = 9/10 = 90%
Distribuciones no homogéneas
Los dados con formas raras no regulares, o los dados cargados no son homogéneos. No sacan cada resultado con la misma probabilidad.
Pero hay una forma muy sencilla de obtener probabilidades no homogéneas utilizando dados regulares, que es sumar sus resultados. El caso más típico es tirar 2d6, y sumar sus resultados. Normalmente decimos "tirar 2d6" y nos olvidamos de decir "sumarlos" pero el tema viene por sumarlos.
El quid está que las sumas muy altas o muy bajas necesitan que ambos dados sean altos o bajos y por tanto tienen menos probabilidad de salir que las sumas medias:
Hay sólo 1 forma de sacar un resultado de 2: un 1 en un dado, un 1 en el otro dado. ¿De dónde sale ese 2,8%? ¿Cómo calculas esta probabilidad?
Pr(sacar "ojos de serpiente" en 2d6) = Pr(sacar un 1 en 1d6)*Pr(sacar un 1 en 1d6)= (1/6)*(1/6)=1/36
¿A que se entiende más fácil de dónde viene?
Sacar una suma de 3 resulta más probable porque hay dos configuraciones que te lo dan: 1+2 y 2+1
Sacar una suma de 4 tiene tres configuraciones: 1+3, 2+2, 3+1
Sacar una suma de 5, tiene cuatro: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1
Sacar una suma de 6, tiene cinco: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
Sacar una suma de 7, tiene seis, y es la que más tiene: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
Y de ahí vamos para abajo. ¿Sois capaces de escribir la configuraciones para el resto de números?
¿Y cómo calculamos la probabilidad de cada resultado en 2d6? Porque con el 2 y con el 12 es fácil (1/6*1/6=1/36), pero el resto no lo veo...
Lo más fácil es considerar que tirando 2d6 obtenemos 36 permutaciones. Una permutación es un posible estado de los engranajes aleatorios que estamos considerando. Las permutaciones son lo que antes he llamado "configuración" y las 36 que hay son:
1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6
2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6
3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6
4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6
5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6
6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6
Una permutación no es un resultado, ya que como el resultado de cada dado se suma, las 36 permutaciones se terminan convirtiendo en 11 resultados: del 2, al 12. Y como antes hemos visto, algunos resultados se consiguen con más permutaciones que otros.
Y esto es lo que nos da la probabilidad de cada número: permutaciones favorables / permutaciones totales.
Sacar un 2: 1 permutación = 1/36
Sacar un 3: 2 permutaciones = 2/36
Sacar un 4: 3 permutaciones = 3/36
Sacar un 5: 4 permutaciones = 4/36
Sacar un 6: 5 permutaciones = 5/36
Sacar un 7: 6 permutaciones = 6/36 = 1/6
Sacar un 8: 5 permutaciones = 5/36
Sacar un 9: 4 permutaciones = 4/36
Sacar un 10: 3 permutaciones = 3/36
Sacar un 11: 2 permutaciones = 2/36
Sacar un 12: 1 permutación = 1/36
Tirar 2d6 es diferente de tirar 1d12 no sólo porque con 2d6 no pueden sacar un "1" y el 1d12 sí. La mayor diferencia entre ambos es que la mayoría de tiradas de 2d6 van a concentrarse alrededor del 7, mientras que en el 1d12 estarán repartidas por todas partes.
¿Y para qué puedo utilizar esto?
En eurogames, múltiples dados sumados ofrecen consistencia, un único dado de rango similar ofrece más abundancia y escasez. Producir 2d3 tomates es más consistente que producir 1d4+1 tomates.
En juegos de guerra donde se tiran 2d6, la probabilidad de crítico (sacar el 12) o pifia (sacar un 2) es muy pequeña, mientras que los resultados bajos o intermedios pueden sacarse o superarse de forma consistente.
En un wargame con modificadores, tener que sacar 5 ó más con 2d6 es algo esperable. Es la probabilidad que un juego le ofrecería al jugador que hace las cosas bien. Por cierto, se puede calcular simplemente sumando la probabilidad de todas ellas (las que he puesto de color azul en el anterior párrafo), así que sería:
(4+5+6+5+4+3+2+1)/36 = 30/36 = 83,33%
Pero tener que sacar 10 ó más con 2d6, es el tiro a ciegas de quien está jugando mal:
(3+2+1)/36= 16,67% ¿Entendéis cómo lo he calculado?
De hecho jugar bien a un juego así consistiría en aprovechar cuantos más modificadores a tu favor para que los resultados intermedios que están alrededor de 7 se consideren "éxito" cada vez que tires. Cuando las cosas están muy chungas (tener que sacar un 11), un +1 apenas te da beneficio (hace que el 10 también sea éxito, pero eso es un +3/36 extra de probabilidad), pero si tienes que sacar un 8, entonces el +1 maximiza el beneficio que te da (hace que el 7 también sea un éxito, eso es un +6/36 extra de probabilidad).
Si haces un juego de rol y defines la "pifia" como sacar el mínimo resultado en la tirada de ataque, entonces el arma más pifiosa lanzaría 1d4 (1/4=25% de pifiar), y la más segura la que más dados lanza o la que lanza el dado más grande. Por ejemplo, con 2d6: (1/36=2,7% de pifiar).