Probabilidad en los juegos de mesa: introducción (Borrador-en construcción)

[Dumis]

Ya que mencionáis la Teoría de Juegos y sin ánimo de ensuciar el tema, simplemente hacer mención de que en el magnífico canal de Youtube "Veritasium" y "Veritasium en español" hay un reportaje sobre el dilema del prisionero.  Ideal para los que, como yo, solo tenemos conocimientos básicos

¡Es un vídeo precioso e interesantísimo! En su momento lo estuve pasando por el grupo de Clocktower.
Mi idea cuando me maneje un poco más por la BSK es hacer un post como los de Calvo con ese vídeo y trasladarlo al Clocktower, comentando las diferencias (por ejemplo el hecho de que hay equipos y las interacciones entre ambos pueden tener distintas magnitudes).
Pero estoy de acuerdo contigo, para una primera pincelada es super útil

[Tulkas]

Desgraciadamente, no he podido leerme el hilo al completo por falta de tiempo, pero me parece una idea muy interesante que se hable, acerquen esos conceptos estadísticos al público no especializado. De hecho, si pudiera y sacara algo de tiempo, os echaría una mano. Algo así fue lo que intenté hace unos años cuando comencé a explicar algunos conceptos de teoría de juegos de manera más o menos práctica (supongo que por ahí andarán los enlaces).
Respecto al primer hilo de Calvo, entiendo que ha hecho un copy/paste más o menos procesado, pasando por el filtro de su propio desconocimiento y/o ganas de aprender de esta materia. Lo poco que he podido leer, creo que no es lo más didáctico y hay cosas que se podrían simplificar y/o explicar de un modo algo más accesible (de hecho si saco algo de tiempo, intentaré reformularlo). Por favor, entended esto como una crítica constructiva, como algo para que el hilo mejore. Lo que sí creo necesario modificar ya, es el uso del término probabilidad condicionada. Tal y como se usa prácticamente al empezar el post, es incorrecto. Cuando el resultado de un suceso depende de otro suceso anterior, no se llama probabilidad condicionada. No quiero entrar en la definición de probabilidad condicionada, que necesitaría tener asimilados otros conceptos más básicos.
En lo referente a lo que se habla en el post inicial, es mejor hablar de sucesos independientes (cuando el resultado no depende de un suceso anterior, como por ejemplo tirar un dado), o de sucesos dependientes, siendo un ejemplo típico sacar una carta de una baraja o un cubito de una bolsa. A medida que se sacan cartas/cubitos, la probabilidad que se tiene de sacar uno determinado, varía. Pero eso son sucesos dependientes, no es probabilidad condicionada.

Ruego me disculpéis la pedantería, pero creo que es mejor asentar los términos adecuados para no perderse luego.

Saludos!

[Hollyhock]

Bueno, pues empecemos por lo básico. Pero no poniendo copypastes de libros de texto, sino intentando entender y contextualizar las cosas que se van diciendo.


La probabilidad de que suceda algo es = casos favorables / casos posibles

Si tiro 1d6, la probabilidad de sacar un número concreto (por ejemplo, un 3) es 1/6.
La probabilidad de sacar 5 ó más es 2/6. Porque hay 2 resultados que cumplen esto (el 5 y el 6), y 6 resultados disponibles.
La probabilidad de sacar 4 ó más es 3/6.

Así que con un 1 dado, estas son las probabilidades de sacar:
Pr(un 6) = 1/6 = 16,67%
Pr(5 ó más) = 2/6 = 33,33%
Pr(4 ó más) = 3/6 = 50%
Pr(3 ó más) = 4/6 = 66,67%
Pr(2 ó más) = 5/6 = 83,33%

Así que tirando un dado e intentando sacar un número o más, que en juegos solemos llamar "asignar una dificultad a la tirada", tenemos una bonita distribución de probabilidades.

No hay que desdeñar el dado básico. Hay muchos juegos que utilizan métodos muy extraños de símbolos diferentes que se comparan y se combinan y al final resultan en unas probabilidades no demasiado alejadas de tirar un dado contra una dificultad. Así que si necesitáis un motor aleatorio sencillo y fiable para un juego de mesa, podéis utilizar un dado y luego pensar una fórmula que calcule una dificultad entre 2 y 6 que haya que sacar en ese dado.


Sucesos Independientes, Sucesos Dependientes

Dos sucesos son independientes si uno no está condicionado por el otro. ¿Qué significa esto? Vamos a verlo.

Si he tirado 1d6 y he obtenido cuatro veces seguidas un "6", ¿cuál es la probabilidad de que vuelva a salir otro 6?

La probabilidad es 1/6. Porque al dado le da igual lo que haya sacado antes. La estructura del dado no cambia, siempre muestra la misma probabilidad estadística, así que sacar cada número siempre tiene la misma probabilidad.

Pero si la pregunta cambia a ¿cuál es la probabilidad de sacar cinco veces seguidas un "6"?, entonces esto ya es más difícil.

Pr(cinco "6"s seguidos) = Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)=(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6) = (1/6)^5 = 0,013%

Y esta fórmula puede descomponerse de esta forma (multiplicar cinco veces lo que un único seis) precisamente porque a un dado le da igual lo que haya sacado antes, así que cada una de las cinco tiradas es independiente del resto.


Sacar cartas de un mazo no es así. Al sacar cartas de un mazo, el mazo cambia, así que ya no le da igual lo que has sacado previamente. En una baraja española hay 40 cartas (10 oros, 10 bastos, 10 copas, 10 espadas).

La probabilidad de sacar un oro es 10/40 = 1/4. Pero si has sacado cuatro oros seguidos, la probabilidad de sacar un quinto es 6/36 = 1/6. Al intentar sacar el quinto oro, sólo hay 6 oros dentro del mazo y el mazo sólo tiene 36 cartas en total. Porque hay 4 oros que están fuera.

La probabilidad de sacar cinco oros seguidos ya no puede descomponerse en (algo)^5, porque la probabilidad de sacar cada oro es diferente. Cada vez que sacamos una carta, el mazo cambia:

Pr(cinco oros seguidos) = Pr(1er oro)*Pr(2º oro)*Pr(3º oro)*Pr(4º oro)*Pr(5º oro) = 10/40 * 9/39 * 8/38 * 7/37 * 6/36 = 0,04%

Sacando cartas de un mazo, haces que si sale mucho de algo, sacar eso mismo se vuelve más difícil, creando una especie de corrección al azar que va ocurriendo, hasta que una regla haga que el mazo se vuelva a rebarajar/reformar.

[Hollyhock]

Distribuciones homogéneas

Tirar 1d6 es una variable aleatoria homogénea, porque cada cara tiene las mismas posibilidades de salir. En este caso, 1/6.

En general, tirar un único dado de cualquier número de caras es una variable aleatoria homogénea (mientras éste sea una forma geométrica regular):
1d4: 25% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 4.
1d6: 16,67% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 6.
1d8: 12,5% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 8.
1d10: 10% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 10.
1d12: 8,33% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 12.
1d20: 5% de sacar un N, donde N es un número concreto entre 1 y 20.

¿De dónde salen estos números de probabilidad? De la fórmula anterior de "casos favorables/ casos posibles". Por ejemplo, en 1d12 el 8,33% es el resultado de dividir 1/12.

A cada uno de estos dados se le puede hacer el tratamiento de "asignarle una dificultad" y tirarlo para intentar sacar cierto resultado o más, dando lugar a un abanico de probabilidades entre muy fácil y muy difícil. Sería como lo que he expuesto del dado de seis en mi anterior post, pero seguramente con más escalones porque casi todos los dados tienen más caras.

El más fácil de ver sería un dado de 10, porque los número salen redondos:

Pr(un 10) = 1/10 = 10%
Pr(9 ó más) = 2/10 = 20%
Pr(8 ó más) = 3/10 = 30%
Pr(7 ó más) = 4/10 = 40%
Pr(6 ó más) = 5/10 = 50%
Pr(5 ó más) = 6/10 = 60%
Pr(4 ó más) = 7/10 = 70%
Pr(3 ó más) = 8/10 = 80%
Pr(2 ó más) = 9/10 = 90%

Distribuciones no homogéneas

Los dados con formas raras no regulares, o los dados cargados no son homogéneos. No sacan cada resultado con la misma probabilidad.

Pero hay una forma muy sencilla de obtener probabilidades no homogéneas utilizando dados regulares, que es sumar sus resultados. El caso más típico es tirar 2d6, y sumar sus resultados. Normalmente decimos "tirar 2d6" y nos olvidamos de decir "sumarlos" pero el tema viene por sumarlos.

El quid está que las sumas muy altas o muy bajas necesitan que ambos dados sean altos o bajos y por tanto tienen menos probabilidad de salir que las sumas medias:


Hay sólo 1 forma de sacar un resultado de 2: un 1 en un dado, un 1 en el otro dado. ¿De dónde sale ese 2,8%? ¿Cómo calculas esta probabilidad?

Pr(sacar "ojos de serpiente" en 2d6) = Pr(sacar un 1 en 1d6)*Pr(sacar un 1 en 1d6)= (1/6)*(1/6)=1/36

¿A que se entiende más fácil de dónde viene?

Sacar una suma de 3 resulta más probable porque hay dos configuraciones que te lo dan: 1+2 y 2+1
Sacar una suma de 4 tiene tres configuraciones: 1+3, 2+2, 3+1
Sacar una suma de 5, tiene cuatro: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1
Sacar una suma de 6, tiene cinco: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
Sacar una suma de 7, tiene seis, y es la que más tiene: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
Y de ahí vamos para abajo. ¿Sois capaces de escribir la configuraciones para el resto de números?

¿Y cómo calculamos la probabilidad de cada resultado en 2d6? Porque con el 2 y con el 12 es fácil (1/6*1/6=1/36), pero el resto no lo veo...

Lo más fácil es considerar que tirando 2d6 obtenemos 36 permutaciones. Una permutación es un posible estado de los engranajes aleatorios que estamos considerando. Las permutaciones son lo que antes he llamado "configuración" y las 36 que hay son:
1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6
2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6
3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6
4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6
5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6
6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6

Una permutación  no es un resultado, ya que como el resultado de cada dado se suma, las 36 permutaciones se terminan convirtiendo en 11 resultados: del 2, al 12. Y como antes hemos visto, algunos resultados se consiguen con más permutaciones que otros.

Y esto es lo que nos da la probabilidad de cada número: permutaciones favorables / permutaciones totales.

Sacar un 2: 1 permutación = 1/36
Sacar un 3: 2 permutaciones = 2/36
Sacar un 4: 3 permutaciones = 3/36
Sacar un 5: 4 permutaciones = 4/36
Sacar un 6: 5 permutaciones = 5/36
Sacar un 7: 6 permutaciones = 6/36 = 1/6
Sacar un 8: 5 permutaciones = 5/36
Sacar un 9: 4 permutaciones = 4/36
Sacar un 10: 3 permutaciones = 3/36
Sacar un 11: 2 permutaciones = 2/36
Sacar un 12: 1 permutación = 1/36


Tirar 2d6 es diferente de tirar 1d12 no sólo porque con 2d6 no pueden sacar un "1" y el 1d12 sí. La mayor diferencia entre ambos es que la mayoría de tiradas de 2d6 van a concentrarse alrededor del 7, mientras que en el 1d12 estarán repartidas por todas partes.

¿Y para qué puedo utilizar esto?

En eurogames, múltiples dados sumados ofrecen consistencia, un único dado de rango similar ofrece más abundancia y escasez. Producir 2d3 tomates es más consistente que producir 1d4+1 tomates.

En juegos de guerra donde se tiran 2d6, la probabilidad de crítico (sacar el 12) o pifia (sacar un 2) es muy pequeña, mientras que los resultados bajos o intermedios pueden sacarse o superarse de forma consistente.

En un wargame con modificadores, tener que sacar 5 ó más con 2d6 es algo esperable. Es la probabilidad que un juego le ofrecería al jugador que hace las cosas bien. Por cierto, se puede calcular simplemente sumando la probabilidad de todas ellas (las que he puesto de color azul en el anterior párrafo), así que sería:
(4+5+6+5+4+3+2+1)/36 = 30/36 = 83,33%

Pero tener que sacar 10 ó más con 2d6, es el tiro a ciegas de quien está jugando mal:
(3+2+1)/36= 16,67% ¿Entendéis cómo lo he calculado?

De hecho jugar bien a un juego así consistiría en aprovechar cuantos más modificadores a tu favor para que los resultados intermedios que están alrededor de 7 se consideren "éxito" cada vez que tires. Cuando las cosas están muy chungas (tener que sacar un 11), un +1 apenas te da beneficio (hace que el 10 también sea éxito, pero eso es un +3/36 extra de probabilidad), pero si tienes que sacar un 8, entonces el +1 maximiza el beneficio que te da (hace que el 7 también sea un éxito, eso es un +6/36 extra de probabilidad).

Si haces un juego de rol y defines la "pifia" como sacar el mínimo resultado en la tirada de ataque, entonces el arma más pifiosa lanzaría 1d4 (1/4=25% de pifiar), y la más segura la que más dados lanza o la que lanza el dado más grande. Por ejemplo, con 2d6: (1/36=2,7% de pifiar).

[Hollyhock]

Distribuciones "realistas". Campana de Gauss



La campana de Gauss es una distribución aleatoria muy importante. Lo es porque muchas cosas aleatorias que pasan en esta vida o siguen distribución Gaussiana o pueden aproximarse matemáticamente a una.

Es como decir que en esta vida normalmente los golpes de suerte suaves son los más frecuentes y la suerte extrema, tanto buena como mala, es muy poco probable.

Carl Friedrich Gauss es un matemático alemán que creó ésta función. Es divertido pensar que antes de que él se inventase esto, todo el mundo tenía una suerte del horror: un día ganaba la lotería y al siguiente moría por la caída de un meteorito y cosas así.

En el eje horizontal es donde se ponen los resultados posibles. Si hablamos de tirar un dado, aquí irían los números del dado ordenados de menor a mayor. Si hablamos de freir un huevo, a la izquierda estaría que está malo y al comerlo te enferma, luego que está malo pero te das cuenta a tiempo y simplemente pierdes el huevo, luego que se te cae la cáscara dentro de la sartén, por el centro que te sale normal, y por la derecha que te queda muy bonito y lo más a la derecha que dentro había un vale por un apartamento en Torrevieja.

El eje vertical dice cuánta probabilidad hay que estas cosas ocurran. Lo del medio tiene más probabilidad, y los extremos van teniendo menos de forma geométrica.

De hecho, se parece algo a la distribución de tirar 2d6. No es igual porque los 2d6 hacían un triangulito con el 7 en medio, y la curva de Gauss es como redondita. La curva de Gauss se parece más a tirar 3d6, pero como es una tirada algo incómoda (sumar tres cifras es como muy cansado), muchos juegos de mesa que aspiran a ofrecer realismo de forma sencilla se conforman con tirar 2d6.



Porque tirar 2d6 ya conforma que los resultados gravitan alrededor de un valor medio (el 7) y hace que las pifias y críticos sean en comparación muy improbables. Por eso muchos wargames tiran 2d6. Si en vez de eso tirasen 1d12, los golpes de suerte extremos serían demasiado frecuentes y ya no molaría.

La media aritmética

Hay unas medidas lamadas "estadísticos" que podemos extraer de cada distribución de probabilidad. Los más famosos son la media, la moda y la varianza.

Por ejemplo, "lanzar 1d6" tendrá una media, moda y varianza.
"lanzar 2d6 y sumarlos" tendrá otra media, moda y varianza.
"la curva de gauss" tendrá otra media, moda y varianza.

La media, o media aritmética es el resultado en el medio de la distribución. La usamos en la vida cotidiana para muchas cosas. Hay una formula para calcularla, pero casi nos lía más así que no le hagáis caso: consiste en multiplicar cada resultado numérico por su probabilidad y sumarlo todo.

En 1d6, la media es 3,5. Tres y medio. La media no tiene que ser un resultado posible: con 1d6 no podemos sacar un tres y medio, pero eso no impide que su media sea tres y medio.

Sale de 1*(1/6)+2*(1/6)+3*(1/6)+4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6) = 21/6 = 3,5

En general, en cualquier dado regular, como cada cara tiene la misma probabilidad, por las propiedades de las multiplicación, la media es sumar la cara más baja, la cara más alta, y dividir entre dos. Esto es un truco, no le hagáis mucho caso:
media(1d6) = (1+6)/2 = 3,5
media(1d20) = (1+20)/2= 10,5

La media nos dice que los resultados van a estar alrededor de ella. En un único dado (distribución homogénea), no nos dice prácticamente nada. La media es importante al tirar varios dados y sumarlos, o en distribuciones de Gauss. En estos casos, la media es ese punto central de máxima probabilidad alrededor del que gravitan los demás.

En 2d6, la media es 7.

Sale de 2*Pr(2)+3*Pr(3)+...+ 12*Pr(12) =
= 2*(1/36)+3*(2/36)+4*(3/36)+5*(4/36)+6*(5/36)+7*(6/36)+8*(5/36)+9*(4/36)+10*(3/36)+11*(2/36)+12*(1/36) = 7

Y aquí viene otro truquito:
Si la media de tirar 1d6 es 3,5.... la media de tirar 2d6 y sumarlos es (3,5)*2 = 7... la media de tirar 3d6 y sumarlos es (3,5)*3= 10,5 y así sucesivamente

Así que si alguien hace un juego con tiradas de 3d6, porque le apetece aproximarse más a Gauss, que sepa que la media de tirar 3d6 es "diez y medio". Así que la mayoría de veces sacará dieces y onces. De nuevo, la media no tiene por qué ser un resultado obtenible en la tirada.

De hecho, cuantos más dados tirados (y los sumamos), el bolo Gaussiano de la distribución sale más redondo y se concentra más en el centro:

Tirar 1d6 es una distribución homogénea así que es una linea plana. La media apenas es importante.
https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/1-chart.png

Tirar 2d6 es un triangulito, que sube y baja. La media ya es importante porque los resultados estarán cercanos a ella.
https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/2-chart.png

Tirar 3d6 ya tiene forma de Gaussiana, es una curva que suve y baja. La media es muy importante porque los resultados lejanos a la media son cada vez más difíciles de obtener.
https://www.thedarkfortress.co.uk/tech_reports/tech_assets/3-chart.png


Y esto nos lleva al siguiente "estadístico": la varianza

[Hollyhock]

La varianza

La varianza es un estadístico que nos dice lo concentrada o dispersa que está la suerte en una distribución aleatoria.

Calcularla numéricamente no tiene sentido para el nivel de profundidad que intento mostrar, así que no voy a poner su fórmula. Aun así tiene un valor numérico calculable (puede ser igual a ocho, yo qué sé), pero sólo me referiré a distribuciones con "alta varianza", "varianza media" y "baja varianza".

Como la mayoría de las distribuciones son parecidas a la curva de Gauss, tenemos que en la mayoría de las cosas, la suerte se arremolina alrededor de una media. Pero no siempre se arremolina con la misma densidad. La varianza nos dice cómo de densamente se arrejuntan los posibles resultados a esa media.

En una distribución de alta varianza, sacar resultados extremos es fácil.

En una distribución de media varianza, sacar resultados extremos es factible.

En una distribución de baja varianza, sacar resultados extremos es casi imposible, todos están rodeando a la media.

Si os fijáis, 1d6 tiene más varianza que 2d6, y 2d6 tiene más varianza que 3d6. Cuantos más dados tiras y sumas, menos varianza tiene la distribución creada: más dificultas que los resultados se alejen de la media.

En alta varianza (1d6), la media prácticamente no importa porque los resultados no se arremolinan alrededor de ella, y con baja varianza (3d6) la media importa mucho porque casi todos los resultados se pegan a ella.

La varianza es lo que hace diferente a 2d6 de 1d12 (en el que ignoras cuando salga un 1). Ambos tienen el mismo rango (de 2 a 12), la misma media (7), pero 2d6 tiene menos varianza y por tanto sus resultados gravitan la media de 7... mientras que 1d12 tiene más varianza y lo mismo te saca un 12 que un 7.


Como curiosidad, en ambientes de súper alta varianza, los resultados huyen de la media. Así que la media vuelve a ser importante, por el extraño hecho de que nada ocurre cerca de la media y la suerte tiende a caer en la zona extremadamente mala o extremadamente buena, muy alejado de la media. Sería el caso de la anti-Gaussiana:

Aunque matemáticamente sea así, las distribuciones con varianza extrema no se usan mucho porque no simulan cosas realistas. Normalmente se utilizan Gaussianas o cosas parecidas a Gaussianas, con la mayoría de resultados apelotonados junto a una media.

[Hollyhock]

La moda

El estadístico que queda, la moda, se utiliza poco en estos ámbitos.

La moda es el resultado más probable de una distribución.

¿Pero eso no era la media? No, la media es el resultado que está probabilísticamente en medio. La confusión viene porque en las distribuciones que hemos estado viendo, el resultado más probable era también el que está en medio, y por tanto, media y moda coinciden... más o menos.

Concretamente, en 1d6, como todos los resultados son equiprobables, la moda son todos los resultados a la vez. Hay un empate múltiple en el que la moda es el 1, el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6.

En 2d6, el resultado más probable es el 7, así que el 7 es la moda, y también la media.

En 3d6, la moda es tanto el 10 y el 11. La media es 10,5. A diferencia de la media, que es un número que no tiene por qué coincidir con un resultado, la moda sí debe ser un resultado (o varios resultados), así que en 3d6 moda (10;11) y media (10,5) no coinciden exactamente pero andan cerca.


La moda gana importancia y significado cuando nuestra distribución de probabilidad tiene asimetrías.


Imaginemos un dado "custom" que nos diga cuánto llueve en los Bilbaos:
"0" (no llueve), "0"(no llueve), "0"(no llueve), "1"(sirimiri), "2" (calabobos), "9"(txaparrada)

La moda de este dado es 0, porque es el resultado más probable (hay 3/6= 50% de que no llueva).

Pero la media es 2. (0+0+0+1+2+9)/6 = 2.

Y la varianza, si supiésemos calcularla, daría alta, o al menos importante, por culpa del tirón que pega ese 9. Esto no es una gaussiana ni se le aproxima, aquí la media está sólo de forma circunstancial porque no nos dice dónde se concentran los resultados. La moda sí nos da información fiable de qué resultado va a salir la mayoría de las veces, pero la media no nos dice gran cosa dónde se concentran los resultados.

Así que en este dado, la moda resulta más informativa que la media.

Otro sitio donde la moda sirve es para cabrearse con el gobierno y prensa españolas. Por cómo nos engañan a la hora de hablar de los sueldos en España, que tienen esta distribución.


Si os fijáis, la gráfica no es simétrica, así que moda y media no serán lo mismo. No es una distribución de probabilidad, son datos (ahora no estamos modelando azar), pero estos estadísticos también se pueden aplicar aquí.

La media (el sueldo medio, 23.000€, que no mucha gente cobra), está artificialmente desplazada a la derecha por culpa de la larga cola de sueldazos. En el eje vertical, el sueldo medio no está tan arriba, no hay tanta gente que lo cobre realmente.

Así que ponerse medallas por el sueldo medio español o utilizarlo como termómetro social es un engaño. Hablar del sueldo medio es hablar de gente que cobra más de lo normal. Sería mucho más lógico y natural medir el bienestar de la nación utilizando el sueldo moda, el más probable (16.000€). O la concentración de sueldos cercanos a la moda, donde se concentra la mayoría de ciudadanos. Pero en la tele nunca os hablan del sueldo moda, porque al ser más bajo que el medio, hace quedar en mal lugar a quienes os engañan con trucos estadísticos.

En este gráfico nos dice más la moda que la media. Por ser asimétrico y haber bastante varianza (no se apelotona todo en el centro, el centro es más un pico que una cúpula, y las colas que se alejan son largas).

[Hollyhock]

Las morteradas de dados. Permutaciones de diferentes probabilidades.

Lo complicado de la estadística viene cuando tiras muchos dados, pero en vez de sumarlos, consideras a cada uno por separado e intentas ver si cada uno por separado logra algo, típicamente superar un número de dificultad concreto. Este es un tipo de tirada muy común en los juegos, así que analizar cómo se hacen los cálculos puede ser interesante.

En "Vampiro la Mascarada", tiras 5 dados de 10 caras y necesitas sacar 8 ó más para obtener "éxitos" y necesitas 2 éxitos para que funcione tu Ritual Taumatúrgico Antitodo y poder defenderte del Ataque Matatodo que te han lanzado.

O sea, necesitas que al menos dos dados saquen un 8 ó más. Da igual si sacas cuatro éxitos que tres, necesitas al menos dos. También te da igual sacar uno que cero, porque sería fallar igualmente.

Que un solo d10 saque 8 ó más tiene un 30%. Ya tendríais que saber de dónde sale este número, si no os acordáis tomad lápez y papel y sacadlo.

¡Pero ahora tiras 5 dados! ¿Cómo calculas esto?

Cada dado se ha convertido en una mini-distribución con un 30% de sacar éxito y 70% de sacar fracaso. Como hay 5 dados, y cada uno tiene 2 estados (éxito/fracaso), esto tiene 2^5 = 32 permutaciones. E es "éxito", F es "fracaso", el número de después es el número de éxitos de esa permutación, y el asterisco nos dice si hay al menos 2 asteriscos para que nos funcione el Ritual Taumatúrgico Antitodo, que es nuestro objetivo. Las permutaciones serían:

FFFFF 0
FFFFE 1
FFFEF 1
FFFEE 2*
FFEFF 1
FFEFE 2*
FFEEF 2*
FFEEE 3*
FEFFF 1
FEFFE 2*
FEFEF 2*
FEFEE 3*
FEEFF 2*
FEEFE 3*
FEEEF 3*
FEEEE 4*
EFFFF 1
EFFFE 2*
EFFEF 2*
EFFEE 3*
EFEFF 2*
EFEFE 3*
EFEEF 3*
EFEEE 4*
EEFFF 2*
EEFFE 3*
EEFEF 3*
EEFEE 4*
EEEFF 3*
EEEFE 4*
EEEEF 4*
EEEEE 5*

¡Hala, qué burrada! Vaya rollo, ¿Hay que escribirlos todos siempre, como un escriba medieval? ¿No hay forma de automatizar esto?

Sí, hay forma. Pero es mejor ver el panorama completo al que uno se enfrenta antes de saber cómo ahorrarse tiempo y encauzar los cálculos. El ahorro viene de imaginarse sólo aquellas permutaciones que nos van a dar la victoria, ir calculando sus probabilidades, y sumarlas todas. Así que estaremos calculando la probabilidad de que nuestra "morterada de dados" salga victoriosa. Contemplaremos las permutaciones que nos dan la victoria: son las de 5 éxitos, 4 éxitos, 3 éxitos y 2 éxitos. Las de 1 y 0 éxitos no las contemplamos porque esas son de derrota.

Primero tomamos sólo las permutaciones de 5 éxitos. Sólo hay una:
EEEEE
Y esta permutación tiene una probabilidad muy bajita, de (3/10)*(3/10)*(3/10)*(3/10)*(3/10)=0,243%

Ahora las de 4 éxitos. Hay cinco, y lo sé sin contarlas, porque sólo hay cinco "posiciones" en las que poder colar una F en medio de otras cuatro Es:
FEEEE, EFEEE, EEFEE, EEEFE, EEEEF
Cada una de estas tiene una probabilidad de (3/10)*(3/10)*(3/10)*(3/10)*(7/10) = 0,567%
Y como son cinco, entre todas amasan una probabilidad de 0,567 *5 = 2,835%
Fijaos que en la multiplicación de probabilidades he colado un 7 sustituyendo a un 3, porque hay un dado fracasando (70%) entre los que sacan éxitos (30%). Las multiplicaciones tienen la propiedad conmutativa, así que da igual si el 7 lo ponemos delante, detrás o en medio. Con tal de que haya uno, este paso estará bien.

Y ahora vamos con permutaciones de 3 éxitos. Hay diez, y lo sé sin contarlas porque hay diez "posiciones" en las que colar dos Fs en medio de Es:
Ahora es (3/10)*(3/10)*(3/10)*(7/10)*(7/10) = (3/10)^3*(7/10)^2 = 1,323%
Y todas esas 10 amasan una probabilidad de 10*(1,323)= 13,23%

Y ahora 2 éxitos. ¿Empezáis a ver un patrón que facilite los cálculos? Probabilidad de éxito elevado al número de éxitos, por probabilidad de fracasos elevado al número de fracasos.
Ahora es (3/10)^2*(7/10)^3 = 3,087%
Y son 10 permutaciones, así que entre todas 3,087*10= 30,87%

Y "1 éxito" ya no lo contemplamos, porque eso ya no activa el Ritual Taumatúrgico, así que no lo contamos dentro del éxito de nuestra empresa. "0 éxitos" tampoco.

Ahora sumamos todas las probabilidades de cada permutación. El numerito que tienen multiplicando a la izquierda es lo que he comentado antes, que varias permutaciones dan lugar al mismo número de éxitos, así que hay que tener en cuenta todas. Es análogo a que tirando 2d6 haya múltiples formas de sacar un 7. Si os parece marciano saber cuántas permutaciones salen en cada caso, cuando las permutaciones son pocas se hacen a ojo, cuando son muchas existen fórmulas para calcular cuántas permutaciones de X elementos caben en una estructura de Y huecos. Estas fórmulas se llaman "combinatorias", y las dejo para más tarde. Para calcular cuántas permutaciones son posibles a ojo, tomad cinco huecos de mancala con 3 garbanzos y calculad en cuantas disposiciones podéis ponerlos, teniendo en cuenta que en cada hueco sólo puede haber 1 garbanzo o ningún garbanzo (saldrán 10 casos).

Pr(la morterada de dados es victoriosa) =
1 permutación * Pr(5 éxitos) + 5 permutaciones * Pr(4 éxitos) +10 permutaciones * Pr(3 éxitos) + 10 permutaciones * Pr(2 éxitos)=
1*0,243% + 5*(0,567%) + 10*(1,323%) + 10*(3,087%)=
0,243% + 2,835% + 13,23% + 30,87% =
 =47,178%

Esta es la probabilidad de sacar al menos dos éxitos tirando 5 dados de 10 caras contra una dificultad de 8 ó más. Es decir, la probabilidad de que nos funcione el Ritual Taumatúrgico Antitodo.

Pero como la estadística está llena de truquitos, aquí puedo contaros un truquito que tiene que ver con la fórmula de la probabilidad inversa Pr(A) = 1 - Pr(no-A)

Y es que habría sido más fácil (porque tiene menos pasos), calcular la probabilidad de fallar nuestra morterada de dados. Nos habría salido un 52,822%, luego haríamos hecho 100%-52,822% y así habríamos obtenido nuestro 47,178% de éxito. Pero con menos cálculos y más cortos.

O sea, resulta más fácil, por tener menos pasos, calcular cuándo nos salen 0 éxitos y cuándo 1 éxito. Y luego hacer la inversa. Aun así, prefiero calcular la victoria, para que veáis bien pormenorizado cómo se hace.

Pero también voy a presentar cómo llegaríamos al mismo resultado calculando la derrota y luego haciendo la inversa:

Ningún éxito:
FFFFF (1 permutación)
(7/10)^5= 16,807%

Un éxito
EFFFF, FEFFF, FFEFF, FFFEF, FFFFE (5 permutaciones)
(7/10)^4*(3/10)^1= 7,203%

Sumando todo:

Pr(la morterada falla) = 1* (16,807%)  + 5*(7,203%) = 52,822%

Pr(la morterada es victoriosa) = 100% - 52,822% = 47,178%

Si os fijáis:

Pr(la morterada falla) + Pr(la morterada es victoriosa) = 47,178% + 52,822% = 100%.
Esto es porque la tirada o sale, o no sale, no hay "empate" ni "que la moneda caiga de canto" ni nada fuera de esas dos opciones. La suma de ambas conforma el espectro completo de azar que hay.

Y si os fijáis más aún, todo esto no dista mucho de tirar 1d6 e intentar sacar 4 ó más (50% éxito/50%fracaso). Lo de tirar tantos dados es por hacer el hipster.

[Lopez de la Osa]

Lo de tirar tantos dados es por hacer el hipster.

Voy siguiendo tus clases de 'mates'; son muy claras y directas. Y de todo, esto lo que más.

[Hollyhock]

Combinatorias

Antes he dicho que en 5 dados lanzados, que 2 saquen éxitos y 3 saquen fracasos tenía 10 posibles permutaciones.

A muchos os habrá parecido que ese 10 me lo he sacado de la chistera. A fin de cuentas, os he pedido que imaginéis cinco "huecos" en los que pueda haber "éxito o fracaso" (en realidad dije "garbanzo" o "no garbanzo"), y que contaseis la cantidad de posibles ubicaciones de 3 garbanzos, y saldrían 10.

Para hacerlo "a ojo", lo más recomendable es ser metódicos, tomar 5 huecos, colocar 3 garbanzos en los 3 primeros huecos, e ir moviendo los garbanzos. Primero el más de la derecha hacia la derecha, y cuando rebosa, movemos el siguiente una casilla y luego volvemos a mover el garbanzo de la derecha. Es un poco la forma en la que contamos los números, es como si un garbanzo fuese "unidades", otro "decenas" y otro "centenas". Cuando las "unidades" llegan al límite, aumentamos las "decenas" y regresamos las "unidades" al lugar anterior y seguimos moviéndolas... O como si un garbanzo fuese el segundero, otro el minutero y otro la aguja de las horas.

Empezamos así (primera permutación)
[ o ][ o ][ o ][   ][   ]
Movemos el garbanzo de la derecha a la derecha (dos nuevas permutaciones)
[ o ][ o ][   ][ o ][   ]
[ o ][ o ][   ][   ][ o ]
cuando rebasa, movemos el segundo garbanzo y regresamos el otro lo más a la izquierda posible y seguimos moviéndolo:
[ o ][   ][ o ][ o ][   ]
[ o ][   ][ o ][   ][ o ]
Rebasa de nuevo, avanzamos de nuevo el segundo garbanzo.
[ o ][   ][   ][ o ][ o ]
Y ahora lo que rebasa es el garbanzo del medio así que toca mover el de la izquierda y repetir
[   ][ o ][ o ][ o ][   ]
[   ][ o ][ o ][   ][ o ]
[   ][ o ][   ][ o ][ o ]
Por último vuelve a rebasar y movemos una vez más el de la izquierda, y ya no podemos mover nada más a la derecha, así que es la permutación final.
[   ][   ][ o ][ o ][ o ]

Total: 10 permutaciones. Así es como se hace el cálculo a ojo.

5 huecos, 3 elementos móviles en esos huecos, dan 10 permutaciones

Si no lo veis a simple vista, o si los números son muy grandes, existe una fórmula para calcular el número de permutaciones: la fórmula de las combinatorias. Es ésta de aquí:



C es la combinatoria (el número de permutaciones posible)
n es el número de huecos
r es el número de elementos en esos huecos

Así que C(5,3) = (5!)/[3!*(5-3)!]

Si no sabéis lo que significan esos símbolos de exclamación, lo explico. N! se llama "factorial de N" y es igual a la multiplicación de todo número natural previo a N hasta llegar a 1.

Factorial de 5 = 5! = 5*4*3*2*1
Factorial de 20 = 20! = 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Sólo se puede sacar factorial de números naturales. Las calculadoras científicas te calculan el factorial de los números, pero si le metes un número no natural te da error.

En nuestro caso, era:
n= 5 huecos
r= 3 elementos

C= 5!/(3!*2!) = (5*4*3*2*1)/(3*2*1*2*1) = 10 permutaciones

Si tuviésemos 12 huecos (una huevera), y 3 huevos, habría
C = 12!/3!*9! = 220 permutaciones en las que colocarlos. Aquí sería mejor aplicar la fórmula y no intentar hacerlo a ojo. Pero cuando hay pocas combinatorias, es mejor hacerlo a ojo porque expande la mente.

Esto no sólo sirve para "ubicar r elementos en n huecos". También puede ser que tengamos un gremio de aventureros con r miembros diferentes y haya que elegir n aventureros para una misión en la mazmorra. La combinatoria nos diría cuántas combinaciones de compañías de aventureros únicas serían posibles. Pensad que son equivalentes porque los huecos pueden representar aventureros, y los garbanzos que caben en el hueco es la responsabilidad que recibe el aventurero de ir a la mazmorra. Igual que el hueco puede "contener" el garbanzo, el aventurero puede "contener" que le toque irse de aventuras.

Este tipo de combinatoria se llama "sin repetición" porque los elementos no peden solaparse: cada hueco no puede tener más de un garbanzo, y cada aventurero no puede ser llamado más de una vez a la mazmorra. En casos que se pudiese tener repeticiones a la hora de asignar elementos, se utiliza otra fórmula más complicada, que no creo que merezca la pena mencionar porque para este tipo de problemas estadísticos las combinatorias no permiten repeticiones.

[Senseless]

Un detalle:

Pero si la pregunta cambia a ¿cuál es la probabilidad de sacar cinco veces seguidas un "6"?, entonces esto ya es más difícil.

Pr(cinco "6"s seguidos) = Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)*Pr(un 6)=(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6) = 5*(1/6) = 3,33%

Y esta fórmula puede descomponerse de esta forma (cinco veces lo que un único seis) precisamente porque a un dado le da igual lo que haya sacado antes, así que cada tirada es independiente.

...

La probabilidad de sacar cinco oros seguidos ya no puede descomponerse en 5*(algo), porque la probabilidad de sacar cada oro es diferente. Cada vez que sacamos una carta, el mazo cambia:

No es 5×x, es x⁵

[Hollyhock]

No es 5×x, es x⁵

Gracias, corregido.