La BSK
TRASTIENDA => Cajón de sastre => Mensaje iniciado por: Hollyhock en 18 de Diciembre de 2017, 18:11:24
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¿Sabéis cuánto da la suma infinita de todos los números naturales? Me refiero a:
1+2+3+4+5+6+7+8+... y así con todos los enteros positivos hasta infinito.
¿Cuánto piensas que da? Debe ser un número grande, gigantesco ¿verdad?
:) :) :)
Venga, intenta adivinarlo.
;) ;) ;)
No vais a poder
:D :D :D
¿Os lo cuento ya?
El resultado de esta suma es conocido, y es completa y absolutamente flipante. El resultado de esta suma infinita es -1/12 (menos un doceavo). Sí, habéis leído bien, sumar todos los números naturales da como resultado un número negativo y de valor absoluto inferior a 1. Justo lo que no pensabas que iba a ser.
??? ??? ???
¿Pero cómo puede ser esto? Si paras la serie en alguna parte, obtienes un número enorme y positivo, ¿me estás contando que la "infinitud" de la serie rompe las reglas intuitivas y convierte el resultado en -1/12? ¿Qué magia no-convergente es ésta?
:o :o :o
Pues sí. Esto no es un truco ni una ilusión, esto es un cálculo matemático real que de hecho ya se ha empleado en algunos estudios físicos. Lo mejor de todo es que su demostración, aunque algo larga, es tan sencilla que hasta un niño puede entenderlo, y resulta muy interesante.
S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12
Vamos a demostrarlo:
Para calcular S antes tenemos que calcular un par de series distintas. La primera es la serie A:
A= 1-1+1-1+1-1+1-1...
A es una suma de unos, positivos en términos impares y negativos en pares. Uno más uno menos uno más uno menos uno...
Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. Ummmm.... ¿dará cero o dará uno? Vamos a calcular de verdad:
El resultado real se consigue dándonos cuenta que 1-A da la misma serie que la propia A:
1-A = 1- (1-1+1-1+...) = 1-1+1-1+1-... = A
Sabiendo que 1-A=A, despejamos A=1/2. Resulta bastante intuitivo que el resultado bueno en vez de ser 0 ó 1, sea la media de cero y uno. Ni pa ti ni pa mí. Ya tenemos esta.
La segunda serie que hace falta analizar es B, la suma de todos los números naturales, pero a diferencia de S en la que todos suman, en B suman los términos impares y restan los pares:
B=1-2+3-4+5-6+7...
Esta serie se calcula sumando dos veces B, pero desplazando la suma una posición a la derecha:
B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +...
+ B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
--------------------------------------------
2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 -...
Ese resultado me suena. Anda mira, el doble de B es igual a A, la cual ya sabemos que da 1/2. Así que 2B=1/2, por tanto despejamos B=1/4. Ya tenemos esta otra también.
Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para calcular la suma de todos los números naturales. Entremos a matar:
El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +...
- B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -...
--------------------------------------------
S-B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 +0 +...
Entonces tenemos que S-B=4+8+12+16+20+... .Esta también es una suma infinita, que aumenta de 4 en 4.
Sacamos 4 como factor común y tenemos que S-B=4*(1+2+3+4+5+6+7...)
Mira, lo que está entre paréntesis es la propia serie S, así que podemos escribir:
S-B=4*S. Sabiendo que B=1/4, sustituimos:
S-1/4=4*S. Y de aquí no cuesta mucho despejar que S=-1/12
8) 8) 8)
Por tanto:
S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12
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Verdaderamente asombroso. Y también esclarecedor porque demuestra que la enseñanza tradicional de las matemáticas básicas está obsoleta y debería ser adaptada a los nuevos tiempos.
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Yo creo que en esta demostración hay bastantes cosas raras, como operaciones con series que no veo claras.
No tengo el cálculo muy fresco pero dudo mucho que sean válidas y correctas esas formas de manipular series.
De hecho empezaría por decir que no existe tal cosa como sum(N). La suma de los números naturales tiende a infinito al crecer N, que es diferente.
Edito y añado: he buscado info sobre esta "suma" y es verdad que "no es un truco ni una ilusión". Se llama suma de Ramanujan y en realidad es un caso especial de la función Z de Riemann, y tiene sentido sí, pero redefiniendo ciertas operaciones matemáticas e incluso el símbolo de igualdad (=)
Algo así como si digo que la paella se cocina con "patatas" y cuando me mireis raro, os explico que me he inventado un lenguaje en el que patatas significa "arroz".
A ver si puedo hacer una explicación sin meterme en muchos líos.
Toma la función f(x)=(x(1+x))/2
Resulta que para cada número natural n, f(n) coincide con la suma de todos los números naturales hasta llegar a él.
f(1) = 1
f(2) = 3 (= 1+2)
f(3) = 6 (=1+2+3)
y así sucesivamente.
Pero la función f(x) la he definido para todos los números reales, no solo para los naturales. Voy a dibujar la gráfica.
(https://i.imgur.com/WlHcsER.png)
(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+f(x)%3D(x(1%2Bx))%2F2+between+-1+and+0)
Ahora calculamos el área de la curva que queda debajo del eje de ordenadas. Una integral sencillita. Resulta -1/12.
Eso es ni más ni menos lo que significa la suma de Ramanujan.
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Suena mucho a truco matemático :) La suma de infinitos números parece más bien un concepto absurdo, o al menos inmanejable.
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Yo también desconocía el resultado pero por lo visto es cierto, la suma aparenta ser divergente pero converge, Ramanujan ya lo descubrió hace un siglo:
https://es.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF (https://es.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF)
Y aquí un artículo más técnico:
http://math.arizona.edu/~cais/Papers/Expos/div.pdf (http://math.arizona.edu/~cais/Papers/Expos/div.pdf)
Lo que no tengo del todo claro es si esta demostración es consistente analíticamente, porque la forma de reordenar las sumas lo veo muy raro y vago, pero el tema se me escapa la verdad y el resultado sí es consistente.
Y un interesante resultado de este sumatorio es que para la teoría de cuerdas bosónicas se requieren un mínimo de 26 dimensiones de las cuerdas, para que la energía de estas sea consistente :o
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Las sumas divergentes infinitas no pueden sumarse de forma tradicional, pero se les puede aplicar Ramanujan para calcularles una "suma", que tiene validez al poder aplicarse en campos físicos.
Como dice ulises7, el -1/12 se utiliza en teoría de cuerdas.
EDIT:
Soy ingeniero, no matemático, y como tal cada vez que me he encontrado una serie divergente el resultado era que no se podía hacer nada con ella, así que no las he estudiado. Por eso me ha entrado curiosidad con este tema y me ha parecido una curiosidad capaz de despertar interés por las matemáticas para cualquier público. Si algo no tiene suma pero tiene "suma", pues la "suma" es su suma. Seguro que en este foro habrá matemáticos que sabrán mucho más, pero no jodáis la magia, que es Navidad.
:D :D :D
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Pues no sé, en principio parece algo ad hoc. Si no es una suma "tradicional", no es una suma, será otro concepto. La suma de infinitos números no puede dar un resultado concreto porque el elemento infinito es un concepto que lo impide.
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Todo es falso. Vivimos en Matrix
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El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:
¿Por qué?
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El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:
¿Por qué?
Porque así puedes conseguir como resultado una serie que poder poner en función de S, lo que te permite montar una ecuación capaz de despejar S.
EDIT: creo que preguntas cómo se le pudo ocurrir a alguien considerar (S-B). Lo ignoro. Supongo que Ramanujan buscaba transformar S con una serie similar (B) para hallar algo que pudiese ponerse en función de S ó B, para así poder despejarla. A lo mejor incluso llegó al resultado de otra forma y esta es la solución noob-friendly, pero sigue siendo una solución válida al fin y al cabo.
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El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:
¿Por qué?
Aquí tienes una explicación más gráfica del procedimiento. La clave está en que el "infinito" no tiene las mismas propiedades que los números "normales". Por ejemplo no hay ningún número que sumado a si mismo tenga como resultado ese mismo número (excepto el "0" que tampoco es un número con las mismas propiedades). Sin embargo el infinito sumado a si mismo sigue siendo infinito. Desde ahí todo lo que se haga con infinitos no se puede calibrar con la álgebra tradicional a la que estamos acostumbrados.
[ Vídeo de YouTube no válido ]
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Seguro que en este foro habrá matemáticos que sabrán mucho más, pero no jodáis la magia, que es Navidad.
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Soy matemático, y tan sólo puedo decir que las matemáticas son bellas. A mis hijas les hago “trucos” con números, pero a su nivel, aunque el concepto de infinito ya se lo he empezado a enseñar con algún que otro truquito “mágico”... pero como dice Hollyhock sin joder la magia...
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El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:
¿Por qué?
Porque del caserío me fio y tambien de la wikipedia
https://es.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF (https://es.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF)
Aun así sigo sin asimilar lo que significa. ????
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Pues yo lo he hecho por la cuenta de la vieja y me sale infinito.
Saludos.
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Pues yo lo he hecho por la cuenta de la vieja y me sale infinito.
Saludos.
Pues vaya tio barbaro debes estar hecho. Yo lo he intentado por el mismo metodo y me he cansado antes de llegar al resultado. Ckn decirte que ni siquiera he llegado a la mitad de infinito!
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Yo creo que en esta demostración hay bastantes cosas raras, como operaciones con series que no veo claras.
No tengo el cálculo muy fresco pero dudo mucho que sean válidas y correctas esas formas de manipular series.
De hecho empezaría por decir que no existe tal cosa como sum(N). La suma de los números naturales tiende a infinito al crecer N, que es diferente.
Edito y añado: he buscado info sobre esta "suma" y es verdad que "no es un truco ni una ilusión". Se llama suma de Ramanujan y en realidad es un caso especial de la función Z de Riemann, y tiene sentido sí, pero redefiniendo ciertas operaciones matemáticas e incluso el símbolo de igualdad (=)
Algo así como si digo que la paella se cocina con "patatas" y cuando me mireis raro, os explico que me he inventado un lenguaje en el que patatas significa "arroz".
A ver si puedo hacer una explicación sin meterme en muchos líos.
Toma la función f(x)=(x(1+x))/2
Resulta que para cada número natural n, f(n) coincide con la suma de todos los números naturales hasta llegar a él.
f(1) = 1
f(2) = 3 (= 1+2)
f(3) = 6 (=1+2+3)
y así sucesivamente.
Pero la función f(x) la he definido para todos los números reales, no solo para los naturales. Voy a dibujar la gráfica.
(https://i.imgur.com/WlHcsER.png)
(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+f(x)%3D(x(1%2Bx))%2F2+between+-1+and+0)
Ahora calculamos el área de la curva que queda debajo del eje de ordenadas. Una integral sencillita. Resulta -1/12.
Eso es ni más ni menos lo que significa la suma de Ramanujan.
Entiendo lo que has hecho y analíticamente es correcto, pero no acabo de entender (matemáticamente) el resultado y sobretodo los límites de integración. Has sumado de -1 a 0 (n) cuando estos valores no son naturales y no están comprendidos por tanto en la suma de los infinitos números naturales.
La única forma que logro entender de forma intuitiva este resultado (en general, no la demostración anterior, pero la gráfica ayuda a explicar lo que voy a decir) es ver que la curva que representa la suma tiene una asínptota inclinada cuando n tiene a infinito y esta asíntota corta al eje y en -1/12.
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Íntegro entre -1 y 0 porque son las raíces de la función. Es decir, calculo el área de la función debajo del eje de ordenadas.
En efecto esos valores no son naturales, pero es que la función está definida para cualquier X real.
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Íntegro entre -1 y 0 porque son las raíces de la función. Es decir, calculo el área de la función debajo del eje de ordenadas.
En efecto esos valores no son naturales, pero es que la función está definida para cualquier X real.
No, si lo entiendo, -1 y 0 son los puntos en los cuales se corta la función que es igual al sumatorio de todos los números enteros f(x) = x(x+1)/2, teniendo como equivalencia la función pedida S(n)= n(n+1)/2 siendo n = +infinito.
Pero cómo interpretas esta aplicación que has hecho de f(x) respecto a S(n)? Más importante aún, qué significado tiene el área bajo los puntos de corte de f(x)?
No digo que esté mal, de hecho visto el resultado es interesante y todo apunta a una demostración más o como mínimo una correlación destacable, pero aún falta creo yo la conexión entre f(x) y S(+infinito) ya que x es entero y no natural.
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Bueno, había dejado pasar algo de tiempo por ver si alguien más tenía algo que decir.
Es un truco. Sacado de la manga y con la misma validez matemática que la demostración inicial de que S(N)=-1/12.
Si quieres hago más demostraciones absurdas:
Sea la serie Z=+1-1+1-1+1...
Entonces puedo agrupar Z=(+1-1)+[1-1]+(1-1)+[1-1]+... (después de todo esta forma de agrupar términos se usa en la famosa demostración de que s(N)=-1/12)
Si agrupo los valores entre paréntesis tengo Z y si agrupo los valores entre corchetes también tengo Z.
Por tanto Z= Z + Z;
Z=2Z;
1=2; ¿te convence? Si quieres puedes seguir: 1=2=3=4...
puedes conseguir cualquier resultado absurdo si operas mal con series.
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Entonces puedo agrupar Z=(+1-1)+[1-1]+(1-1)+[1-1]+... (después de todo esta forma de agrupar términos se usa en la famosa demostración de que s(N)=-1/12)
No, no se usa la agrupación de términos para calcular Z.
Agrupar los términos pares o impares de Z es sólo un cálculo previo intuitivo (no válido) para ver a ojo cuándo puede llegar a dar Z. Depende de cómo emparejes los términos da cero (0) ó uno (1), por tanto a ojo no queda claro qué puede llegar a dar. Luego, haciendo el cálculo bien, el resultado bueno y exacto es Z=1/2. Que comparando con el cálculo intuitivo previo, encaja porque queda en medio de los dos valores calculados a ojo.
No puedes hacer Z=Z+Z porque incluso aunque pienses que Z es una suma infinita de ceros (que no es, así que ni siquiera podrías plantear esto), no puedes simplificar la Z de la izquierda con la Z de la derecha porque no puedes dividir ambos términos entre Z. Sin embargo, en 1-Z=Z sí puedes resolverlo sumando Z con Z para dar 2Z, y luego dividir 1 entre 2 para dar 1/2.
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Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. Ummmm.... ¿dará cero o dará uno? Vamos a calcular de verdad:
Depende de cómo emparejes los términos da cero (0) ó uno (1),
Esto no es correcto. La suma +1-1+1-1 es divergente y no da ningún resultado concreto, ni 0 ni 1, da igual cómo emparejes.
Esa misma añagaza de "emparejar" a mi gusto es la que he usado para "demostrar" que 1=2;
Pero vamos, que volviendo al asunto original, con nuestras matemáticas y con las operaciones aritméticas que manejamos habitualmente, la suma de los números naturales es divergente y no -1/12.
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Todo se basa en que se ha decidido que se pueden hacer operaciones aritméticas con cosas indefinidas en sí mismas. Así puede ser normal un resultado extraño.
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Yo creo que Hollyhock nos estás tongando.
Los números naturales son positivos, y en la operación 1-1+1-1+1-1+1... etc estás "sumando" números negativos, no son naturales, no cuela. Da igual dónde pongas o no los paréntesis, son una cortina de humo del tongo.
Y se alegas que no son números negativos, que son números naturales positivos restando, entonces no es un sumatorio, es un cachondeo. No cuela.
Salud
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¿Por qué no existe el emoticono de ojos llorando de risa como en facebook? :o
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¿En qué libro sale esto? :o
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Esto no es correcto. La suma +1-1+1-1 es divergente y no da ningún resultado concreto, ni 0 ni 1, da igual cómo emparejes.
De hecho, la serie +1-1+1-1 no es ni convergente ni divergente. Tan solo es indeterminada.
Normalmente comparar para saber si una serie converge o diverge uno de los criterios que se utiliza es comparación con la integral. En este caso podrías integrar la integral del cos(x) desde 0 a ∞. Como el cos(∞) es indeterminado, de la misma forma lo es la integral.
La suma Σx es divergente dado que si se compara con Σ(1/x) = ∞. Esto es: x>(1/x) para todo x>1. Σ(1/x) es una serie divergente. Por tanto algo mayor que una serie divergente es divergente.
El truco matemático es muy gracioso. Siempre me ha parecido tan gracioso operar con 0 o con ∞. La gracia está en ver si te pillan o no...en este caso sí que le han pillado. Una buena inocentada :P.
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Me sonaba que una serie es divergente siempre que no sea convergente.
Puede que esa definición no sea correcta, no tengo frescas las matemáticas. Ni siquiera me acuerdo si estudié las series en álgebra o en cálculo ;D
En wolfram alfa si que me dice que la serie +1-1+1... es divergente, pero la verdad es que al final es sólo una cuestión de nomenclatura.
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Me sonaba que una serie es divergente siempre que no sea convergente.
Puede que esa definición no sea correcta, no tengo frescas las matemáticas. Ni siquiera me acuerdo si estudié las series en álgebra o en cálculo ;D
En wolfram alfa si que me dice que la serie +1-1+1... es divergente, pero la verdad es que al final es sólo una cuestión de nomenclatura.
La conclusión de Z=2Z es que Z=0, no que 1=2.
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me has pillado.
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Me sonaba que una serie es divergente siempre que no sea convergente.
Puede que esa definición no sea correcta, no tengo frescas las matemáticas. Ni siquiera me acuerdo si estudié las series en álgebra o en cálculo ;D
En wolfram alfa si que me dice que la serie +1-1+1... es divergente, pero la verdad es que al final es sólo una cuestión de nomenclatura.
¡Anda! Parece que tienes razón. http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/Calpdf/m4.pdf
Tb debo de tener las series un poco oxidadas (la verdad es que nunca se me dieron tan bien). Las confundí con los límites, pues límites sí que hay indeterminados.
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Hola,
Respecto a la serie divergente 1+2+3+... =-1/2 creo que este resultado está condicionando a un supuesto que está fuera del análisis numérico clásico, el cual es igualar infinito a una constante.
Me parece que alguien ya ha dicho algo en este sentido.
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Me sonaba que una serie es divergente siempre que no sea convergente.
Puede que esa definición no sea correcta, no tengo frescas las matemáticas. Ni siquiera me acuerdo si estudié las series en álgebra o en cálculo ;D
En wolfram alfa si que me dice que la serie +1-1+1... es divergente, pero la verdad es que al final es sólo una cuestión de nomenclatura.
La conclusión de Z=2Z es que Z=0, no que 1=2.
Falso; puede ser 0 o puede ser indeterminado; pero lo que está claro es que nunca puedes simplificar y tachar para hacer el 1=2
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Me sonaba que una serie es divergente siempre que no sea convergente.
Puede que esa definición no sea correcta, no tengo frescas las matemáticas. Ni siquiera me acuerdo si estudié las series en álgebra o en cálculo ;D
En wolfram alfa si que me dice que la serie +1-1+1... es divergente, pero la verdad es que al final es sólo una cuestión de nomenclatura.
La conclusión de Z=2Z es que Z=0, no que 1=2.
Falso; puede ser 0 o puede ser indeterminado; pero lo que está claro es que nunca puedes simplificar y tachar para hacer el 1=2
No, la ecuación Z=2Z solo tiene una solución y es Z=0
La serie es divergente porque según cómo la agrupes deduces que puede ser 0 ó 1. Esta es la parte del 0.
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Interesante, pero me plantea algunas dudas. No termino de verlo claro, al menos no todos los puntos de la explicación