La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)

[ulises7]

Yo creo que en esta demostración hay bastantes cosas raras, como operaciones con series que no veo claras.

No tengo el cálculo muy fresco pero dudo mucho que sean válidas y correctas esas formas de manipular series.

De hecho empezaría por decir que no existe tal cosa como sum(N). La suma de los números naturales tiende a infinito al crecer N, que es diferente.

Edito y añado: he buscado info sobre esta "suma" y es verdad que "no es un truco ni una ilusión". Se llama suma de Ramanujan y en realidad es un caso especial de la función Z de Riemann, y tiene sentido sí, pero redefiniendo ciertas operaciones matemáticas e incluso el símbolo de igualdad (=)

Algo así como si digo que la paella se cocina con "patatas" y cuando me mireis raro, os explico que me he inventado un lenguaje en el que patatas significa "arroz".

A ver si puedo hacer una explicación sin meterme en muchos líos.

Toma la función  f(x)=(x(1+x))/2

Resulta que para cada número natural n, f(n) coincide con la suma de todos los números naturales hasta llegar a él.

f(1) = 1
f(2) = 3 (= 1+2)
f(3) = 6 (=1+2+3)

y así sucesivamente.

Pero la función f(x) la he definido para todos los números reales, no solo para los naturales. Voy a dibujar la gráfica.


(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+f(x)%3D(x(1%2Bx))%2F2+between+-1+and+0)

Ahora calculamos el área de la curva que queda debajo del eje de ordenadas. Una integral sencillita. Resulta -1/12.

Eso es ni más ni menos lo que significa la suma de Ramanujan.

Entiendo lo que has hecho y analíticamente es correcto, pero no acabo de entender (matemáticamente) el resultado y sobretodo los límites de integración. Has sumado de -1 a 0 (n) cuando estos valores no son naturales y no están comprendidos por tanto en la suma de los infinitos números naturales.


La única forma que logro entender de forma intuitiva este resultado (en general, no la demostración anterior, pero la gráfica ayuda a explicar lo que voy a decir) es ver que la curva que representa la suma tiene una asínptota inclinada cuando n tiene a infinito y esta asíntota corta al eje y en -1/12.

[Cẻsar]

Íntegro entre -1 y 0 porque son las raíces de la función. Es decir, calculo el área de la función debajo del eje de ordenadas.

En efecto esos valores no son naturales, pero es que la función está definida para cualquier X real.

[ulises7]

Íntegro entre -1 y 0 porque son las raíces de la función. Es decir, calculo el área de la función debajo del eje de ordenadas.

En efecto esos valores no son naturales, pero es que la función está definida para cualquier X real.

No, si lo entiendo, -1 y 0 son los puntos en los cuales se corta la función que es igual al sumatorio de todos los números enteros f(x) = x(x+1)/2, teniendo como equivalencia la función pedida S(n)= n(n+1)/2 siendo n = +infinito.

Pero cómo interpretas esta aplicación que has hecho de f(x) respecto a S(n)? Más importante aún, qué significado tiene el área bajo los puntos de corte de f(x)?

No digo que esté mal, de hecho visto el resultado es interesante y todo apunta a una demostración más o como mínimo una correlación destacable, pero aún falta creo yo la conexión entre f(x) y S(+infinito) ya que x es entero y no natural.

[Cẻsar]

Bueno, había dejado pasar algo de tiempo por ver si alguien más tenía algo que decir.

Es un truco. Sacado de la manga y con la misma validez matemática que la demostración inicial de que S(N)=-1/12.

Si quieres hago más demostraciones absurdas:

Sea la serie Z=+1-1+1-1+1...

Entonces puedo agrupar Z=(+1-1)+[1-1]+(1-1)+[1-1]+... (después de todo esta forma de agrupar términos se usa en la famosa demostración de que s(N)=-1/12)

Si agrupo los valores entre paréntesis tengo Z y si agrupo los valores entre corchetes también tengo Z.

Por tanto Z= Z + Z;

Z=2Z;

1=2; ¿te convence? Si quieres puedes seguir: 1=2=3=4...

puedes conseguir cualquier resultado absurdo si operas mal con series.

[Hollyhock]

Entonces puedo agrupar Z=(+1-1)+[1-1]+(1-1)+[1-1]+... (después de todo esta forma de agrupar términos se usa en la famosa demostración de que s(N)=-1/12)

No, no se usa la agrupación de términos para calcular Z.

Agrupar los términos pares o impares de Z es sólo un cálculo previo intuitivo (no válido) para ver a ojo cuándo puede llegar a dar Z. Depende de cómo emparejes los términos da cero (0) ó uno (1), por tanto a ojo no queda claro qué puede llegar a dar. Luego, haciendo el cálculo bien, el resultado bueno y exacto es Z=1/2. Que comparando con el cálculo intuitivo previo, encaja porque queda en medio de los dos valores calculados a ojo.

No puedes hacer Z=Z+Z porque incluso aunque pienses que Z es una suma infinita de ceros (que no es, así que ni siquiera podrías plantear esto), no puedes simplificar la Z de la izquierda con la Z de la derecha porque no puedes dividir ambos términos entre Z. Sin embargo, en 1-Z=Z sí puedes resolverlo sumando Z con Z para dar 2Z, y luego dividir 1 entre 2 para dar 1/2.

[Cẻsar]

Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. Ummmm.... ¿dará cero o dará uno? Vamos a calcular de verdad:

Depende de cómo emparejes los términos da cero (0) ó uno (1),

Esto no es correcto. La suma +1-1+1-1 es divergente y no da ningún resultado concreto, ni 0 ni 1, da igual cómo emparejes.

Esa misma añagaza de "emparejar" a mi gusto es la que he usado para "demostrar" que 1=2;

Pero vamos, que volviendo al asunto original, con nuestras matemáticas y con las operaciones aritméticas que manejamos habitualmente, la suma de los números naturales es divergente y no -1/12.

[delcampo]

Todo se basa en que se ha decidido que se pueden hacer operaciones aritméticas con cosas indefinidas en sí mismas. Así puede ser normal un resultado extraño.

[Silverman]

Yo creo que Hollyhock nos estás tongando.

Los números naturales son positivos, y en la operación 1-1+1-1+1-1+1... etc estás "sumando" números negativos, no son naturales, no cuela. Da igual dónde pongas o no los paréntesis, son una cortina de humo del tongo.

Y se alegas que no son números negativos, que son números naturales positivos restando, entonces no es un sumatorio, es un cachondeo. No cuela.

Salud

[ulises7]

¿Por qué no existe el emoticono de ojos llorando de risa como en facebook? 

[D0NK1J0T3]

¿En qué libro sale esto? 

[Rorscharch]

Esto no es correcto. La suma +1-1+1-1 es divergente y no da ningún resultado concreto, ni 0 ni 1, da igual cómo emparejes.

De hecho, la serie +1-1+1-1 no es ni convergente ni divergente. Tan solo es indeterminada.

Normalmente comparar para saber si una serie converge o diverge uno de los criterios que se utiliza es comparación con la integral. En este caso podrías integrar la integral del cos(x) desde 0 a ∞. Como el cos(∞) es indeterminado, de la misma forma lo es la integral.

La suma Σx es divergente dado que si se compara con Σ(1/x) = ∞. Esto es: x>(1/x) para todo x>1. Σ(1/x) es una serie divergente. Por tanto algo mayor que una serie divergente es divergente.

El truco matemático es muy gracioso. Siempre me ha parecido tan gracioso operar con 0 o con ∞. La gracia está en ver si te pillan o no...en este caso sí que le han pillado. Una buena inocentada .

[Cẻsar]

Me sonaba que una serie es divergente siempre que no sea convergente.

Puede que esa definición no sea correcta, no tengo frescas las matemáticas. Ni siquiera me acuerdo si estudié las series en álgebra o en cálculo 

En wolfram alfa si que me dice que la serie +1-1+1... es divergente, pero la verdad es que al final es sólo una cuestión de nomenclatura.

[Pedrote]

Me sonaba que una serie es divergente siempre que no sea convergente.

Puede que esa definición no sea correcta, no tengo frescas las matemáticas. Ni siquiera me acuerdo si estudié las series en álgebra o en cálculo 

En wolfram alfa si que me dice que la serie +1-1+1... es divergente, pero la verdad es que al final es sólo una cuestión de nomenclatura.

La conclusión de Z=2Z es que Z=0, no que 1=2.

[Cẻsar]

me has pillado.

[Rorscharch]

Me sonaba que una serie es divergente siempre que no sea convergente.

Puede que esa definición no sea correcta, no tengo frescas las matemáticas. Ni siquiera me acuerdo si estudié las series en álgebra o en cálculo 

En wolfram alfa si que me dice que la serie +1-1+1... es divergente, pero la verdad es que al final es sólo una cuestión de nomenclatura.

¡Anda! Parece que tienes razón. http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/Calpdf/m4.pdf
Tb debo de tener las series un poco oxidadas (la verdad es que nunca se me dieron tan bien). Las confundí con los límites, pues límites sí que hay indeterminados.