Una aproximación matemática a las batallas en Hannibal. Rome vs. Carthage

Ante una batalla siempre nos preguntamos: ¿tengo ventaja o es un suicidio? Gano por tantas cartas, ¿será suficiente?

La respuesta no va a ser clara ni concisa, aunque espero que sea, al menos, útil. Para desarrollar dicha respuesta vamos a dividir la batalla en asaltos. Un asalto sería un conjunto de rondas de combate consecutivas en las que un determinado jugador tiene la iniciativa. Una batalla comenzaría con un asalto del jugador activo, que juega una o más cartas seguidas y es respondido por su rival hasta que, o bien éste no puede igualar la carta jugada y la batalla acaba, o gana la iniciativa y sobreviene un asalto del jugador no activo, que pasa a ser el atacante.

¿De cuántas cartas constará cada asalto? Por supuesto depende de la suerte de cada uno, pero mediante un estudio de probabilidad se puede determinar la longitud "esperada" de cada asalto. Esta longitud esperada sería la media de las longitudes de los asaltos posibles y podemos usarla como referencia para determinar el desarrollo "normal" o esperado de una batalla. Asimismo es posible usarla para decidir a posteriori si hemos tenido buena o mala suerte en una batalla y si es aceptable martirizar al oponente con nuestros lloriqueos (para mí nunca lo es).

La longitud esperada de un asalto, medida en cartas de batalla, depende únicamente del factor de batalla, también llamado de iniciativa, del general enemigo. Da igual que ataquemos con Aníbal Barca o con Aníbal Giscón, seguiremos jugando cartas de ataque hasta que el rival gane la iniciativa, lo que depende exclusivamente de su factor de iniciativa, no del nuestro. Lo que sí depende de nuestro general es la longitud de los asaltos del contrario. Si se enfrentan dos generales de iniciativas 4 y 1 probablemente el general con iniciativa 4 jugará asaltos largos y el de 1 cortos, pero si los dos son de iniciativa 4 normalmente ambos jugarán asaltos cortos.

Un general con iniciativa 1 tiene una probabilidad de 1/6 de ganar la iniciativa en cada ataque que sufra. Experimentalmente he llegado a la conclusión de que la longitud esperada de un asalto contra un general de iniciativa 1 es de 6 cartas, justamente el inverso de 1/6. No he sido capaz de demostrarlo matemáticamente, dejo el problema ahí por si alguien quiere intentarlo. También hay que entender que este 6 es un valor teórico que incluye, por ejemplo, la probabilidad de jugar 200 cartas seguidas, pero es un número fácil de obtener y recordar y por ello lo usaremos. Cuando ataquemos a un general con iniciativa 1 consideraremos "normal" que juguemos 6 cartas seguidas. Si jugamos 7 estaremos de suerte. Si nos gana la iniciativa tras la 2ª carta podremos lloriquear libremente, aunque es poco probable que consigamos algo con nuestro llanto. La idea es que, en principio, a cualquier general de iniciativa 6 le podremos jugar 6 cartas de media antes de que responda siquiera.

Un general de iniciativa 2 tiene 2/6=1/3 de probabilidad de ganar la iniciativa en cada ronda. Contra un general de este tipo la longitud del asalto esperada sería de 3 cartas.

Contra un general de iniciativa 3 la probabilidad sería 3/6=1/2, y la longitud esperada de 2 cartas.

Contra un general de iniciativa 4 la probabilidad sería 4/6=2/3 y la longitud del asalto esperada sería 3/2 o 1.5 cartas. Al atacar a Aníbal debemos esperar jugar asaltos de 1 ó 2 cartas solamente.

Una manera simplificada de entender esta teoría sería que podemos esperar que un general con iniciativa 2 juegue el doble de cartas que otro de iniciativa 1, uno de iniciativa 3 jugará el triple que uno de 1 y un 50% más de cartas que uno con iniciativa 2. Un general con iniciativa 4 jugará 4 veces las cartas de uno de 1, el doble que uno de 2 y sólo un 33% más que uno de 3. Sin embargo hay que tener en cuenta más factores.

Insistiendo de nuevo en que la suerte cuenta y que se pueden jugar asaltos de 5 cartas contra Aníbal, aunque serán raros, a estas alturas podemos ver como se desarrollaría una batalla teórica entre 2 generales. Pongamos el ejemplo de Magón (Iniciativa 2) atacando a Marcelo (Iniciativa 3). A la derecha pongo el total acumulado de cartas jugadas, el primer número sería las cartas jugadas hasta el momento por Magón y el segundo las jugadas por Marcelo.

Asalto 1: Magón juega 2 cartas de ataque:      2-0
Asalto 2: Marcelo juega 3 cartas de ataque:   2-3
Asalto 3: Magón juega 2 cartas de ataque:      4-3
Asalto 4: Marcelo juega 3 cartas de ataque:   4-6

Y así hasta que uno de los dos ceda.

Para analizar estos resultados necesitamos más datos. Si ambos pudieran aguantar 3 ataques y sucumbieran al 4 la batalla la ganaría Magón por un estrecho margen, pero esto ocurriría, en principio, en una batalla igualada de pocas cartas, pongamos 8-10 por bando. Si cada bando llevase 14 cartas, por ejemplo, sería más fácil que uno de los dos aguantase hasta 5 ataques, con lo que la ventaja estaría a favor de Marcelo. Si Magón tuviese más cartas que Marcelo podría aguantar más ataques y lanzar más ataques de un tipo concreto… En fin, que hay que tener en cuenta más de factores.

¿Cómo hubiera transcurrido nuestra batalla teórica si el ataque lo hubiese provocado Marcelo? Pues en principio le correspondería jugar 6 cartas antes de que Magón jugase su 3ª. Es un dato importante a tener en cuenta. El bando que ataca puede tener un impulso más que su rival (si gana), lo que es especialmente importante contra generales de baja iniciativa. Cualquier general, incluso con iniciativa 1, que ataque a Longo o a Giscón puede esperar jugar 6 cartas antes de recibir réplica, lo que probablemente baste para lograr una victoria unilateral. Contra un general de iniciativa 4 cabe esperar sólo una ventaja de 1 ó 2 cartas antes de pasar a la defensiva.

Más cosas que importan. Debido a las reservas el jugador con más cartas puede ser capaz de bloquear todos los ataques y ganar al agotar las cartas del rival. Esta no es una situación común, pero tampoco es descabellada, imagino que todos la hemos sufrido en alguna ocasión. Hay que tener cuidado al atacar a generales con poca iniciativa que nos superen en bastantes cartas. El poder atacar 12 veces mientras que el contrario lo hace sólo en 2 ocasiones tampoco es una garantía, especialmente si no tenemos 12 cartas de batalla en la mano.

Hasta ahora no hemos hablado de los Dobles Envolvimientos, que conllevan automáticamente la pérdida de iniciativa. En principio es preferible jugarlos contra generales de factor de batalla elevado, total iban a ganar la iniciativa igual… Si jugamos 4 DE contra Aníbal habremos perdido la posibilidad de jugar aproximadamente 2 cartas (hemos jugado 4 y esperábamos haber jugado 4*1.5=6 cartas en 4 asaltos). Teniendo en cuenta que sólo hay 6 DE y 4 reservas puede merecer la pena. Contra un general de iniciativa 2 estaremos intercambiando cada DE jugado por 3 Flancos Derechos, por ejemplo. Contra un general de iniciativa 1 implica cambiar un DE por 6 Asaltos Frontales. Igual había que pensárselo, dependiendo de la situación.

Otro ejemplo práctico: Aníbal ataca a Marcelo para romper el cerrojo de Ariminum. Cartago 15 cartas â€" Roma 20 cartas.

Asalto 1: Aníbal juega 2 cartas de ataque:      2-0
Asalto 2: Marcelo juega 2 cartas de ataque:   2-2
Asalto 3: Aníbal juega 2 cartas de ataque:      4-2
Asalto 4: Marcelo juega 1 cartas de ataque:   4-3
Asalto 5: Aníbal juega 2 cartas de ataque:      6-3
Asalto 6: Marcelo juega 2 cartas de ataque:   6-5
Asalto 7: Aníbal juega 2 cartas de ataque:      8-5

Como veis, en el asalto 5 Cartago ha jugado 6 cartas y Roma 3. Cartago tiene una buena posibilidad de ganar si ha acertado con el punto débil del rival, mientras que Roma tendría que esperar al asalto 6 para empezar a crear peligro (aunque nunca se sabe, claro). En cualquier caso, si la batalla se desarrolla como se espera (cosa que probablemente no ocurra) Cartago ganará con casi total seguridad en el asalto 7. Si añadimos el Probe Homicida de Aníbal está claro que Cartago tiene una alta probabilidad de ganar, indudablemente. Si las cartas púnicas son equilibradas y no presentan ninguna línea de ataque evidente siempre le queda la posibilidad de intentar romper el contacto antes incluso de atacar por primera vez.

Desde que llegué a estas conclusiones he cambiado bastante mi forma de jugar con el cartaginés. Antes prefería que fuese el romano el que me atacara para poder retirarme en mi impulso si perdía. Ahora ataco con Aníbal siempre que puedo para maximizar las probabilidades de victoria. Aunque las consecuencia de una derrota pueden ser más graves, a Aníbal siempre es difícil cazarlo. Al final con Aníbal hay que correr riesgos.

Espero no haberme liado mucho con la explicación. Lo que intento compartir es un algoritmo básico para toma de decisiones. Si queréis tentar a la suerte es bueno saber qué nivel de fortuna estamos exigiendo. Yo he visto a gente quejarse tras atacar a Aníbal con Varrón con una ventaja de 2 cartas, a ver si, con esta técnica, sois capaces de demostrar que es un suicidio manifiesto.