Ejercicio sobre probabilidad: Gombaud, el "Chevalier" de Meré

[Calvo]

Antoine Gombaud fue un escritor francés del siglo XVII que se atribuyó el título de Chevalier, muy aficionado al juego y las apuestas y que, dada su relación con los matemáticos Fermat y Pascal y a los "ejercicios-problemas" relacionados con el juego que les planteaba se considera que ayudó a desarrollar la "teoría de la probabilidad", como, por ejemplo, el concepto del "valor añadido" a partir del llamado "problema de la partida interrumpida".

En este caso vamos a ver otro "ejercicio-ejemplo" también muy interesante, relacionado con la probabilidad y los dados:

Gombaud era, además de escritor, apostador, y parece que utilizaba un juego con sus amigos: el apostador tiraba 4 dados de seis caras. Si entre esos resultados obtenía al menos un 6, obtenía el doble de la apuesta, y si no era así, perdía la apuesta. La experiencia parecía decir que, a largo plazo, el apostador obtenía beneficios.

- Ejercicio 1. ¿Cuál era la probabilidad de obtener al menos un 6 en una tirada de 4 dados de 6 caras? Cabría pensar, intuitivamente, que dado que la probabilidad de obtener un seis en un dado de seis es de 1/6, si tiramos 4 dados la probabilidad sería de 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6, es decir, 4/6, aproximadamente un 66%. Sin embargo es fácil entender que esto no es exactamente así si pensamos en otro ejemplo: ¿Si tirásemos 7 dados de seis caras habría 7/6 probabilidades de obtener un 6, es decir, más del 100%? Esto es imposible, por tanto no es esta la forma de calcular la probabilidad (más tarde daremos la solución).

Los apostadores contra lo que jugaba  Gombaud comenzaron a recelar el juego, al observar que el juego "estaba desequilibrado".

Gombaud, entonces, planteo otro tipo de apuesta, convencido de que así conseguiría ganar nuevamente: Tiraría 24 tiradas de 2 dados de 6 caras (2d6) para obtener en al menos una ocasión dos séises, 12.

Este tipo de "juego" asume que, dado que existen 36 combinaciones posibles en una tiradas de 2d6, si se realizan 24 tiradas las opciones serían 24/36, la misma proporción que en el juego anterior= 66%. Sin embargo en este juego Gombaud comenzó a perder, en el largo plazo, grandes sumas de dinero.

- Ejercicio 2: ¿Qué probabilidad tenía Gamboud de obtener al menos un 12 en 24 tiradas de 2d6?

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Una explicación para que a mí me ha ayudado a entender el ejemplo es la siguiente:

 Ejercicio 1, podemos descomponer las combinaciones posibles.

 Existen 6 x 6 x 6 x 6 sucesos posibles (que son todas las combinaciones de todos los resultados), total 1296.

Uno de ellos es que todos (4) los resultados sean "seises" (6,6,6,6) = 1/1296 = 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6.

 Por otra parte tenemos la probabilidad de sacar tres "seises", que es lo mismo que el hecho de que un resultado "no sea seis"= 5/6 * 1/6 * 1/6 *1/6 = 5/1296, y eso puede pasar de cuatro formas distintas:

6,6,6, no-6
6,6,no-6,6
6,no-6,6,6 
no-6,6,6,6

 por tanto 4 * 5/1296 = 20 / 1296. 

Por otra, tenemos la probabilidad de obtener dos "seises" (y por tanto dos "no-seises") = 5/6 * 5/6 * 1/6 * 1/6 = 25/ 1296,
que puede suceder de seis formas distintas = 6 * 25/1296 = 150/1296,

 y por última la posibildad de sacar un seis (y tres "no seises) = 5/6 * 5/6 * 5/6 * 1/6 = 125/1296, de cuatro formas distintas = 4 * 150/1296 = 500/ 1296.

Si sumamos todas las probabilidades de todas las combinaciones posibles = 1/1296 + 20/1296 + 150/1296 + 500/1296 = obtenemos 671/1296 = 0,5177 =  51,77 %

Podemos calcular directamente la probabilidad, al tratarse de sucesos no mutuamente excluyentes, multiplicando la probabildad de que no salga un seis en una tirada de 1d6 = 5/6 por sí misma la cantidad de veces que vamos a tirar el dado, esto es 4 (es decir, elevar 5/6 a 4), lo que nos da idéntico resultado.

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Para el ejercicio 2 vamos a calcular la probabilidad de "no sacar 12" en una tirada de 2d6 = 35/36 y aplicar la misma lógica que en la resolución final anterior: al tratarse de sucesos no mutuamente excluyentes, vamos a multiplicar por sí misma la probabilidad 35/36 veinticuatro veces, que son la cantidad de tiradas que vamos a realizar, lo que no da un resultado de 0,5086 (aprox), es decir,  50,86% de probabilidad de que no salga un 12 tras 24 tiradas de 2d6
, por tanto la probabilidad de que SÍ salga es igual al 100% - 50,86% = 49,14%.


El "Chevalier" de Meré estaba equivocado en ambas estimaciones de sus probabilidades de ganar, y la "ligera" diferencia en el primer ejercicio hacía que, en el largo plazo, la apuesta beneficiase al apostador, pero en el segundo le hiciese perder dinero.

Este ejemplo está descrito con más detalle en el libro "El arte de diseñar juegos" de Jesse Schell y seguro que no os costará encontrar otras fuentes en las que se describa, y creo que es muy "divulgativo" respecto a como "funciona" esto de la probabilidad y es muy aplicable a mundo de los juegos de mesa y diseño de juegos.