El hilo ha empezado con Calvo descubriendo por primera vez formulas de estadística introductorias y a continuación ha derivado en hablar de cuándo va a mentir fulano cuando le toca tal rol oculto.

Lo que pretendía expresar mi anterior mensaje es que esto no va a llegar a ninguna parte.

El hilo va de acercar una visión estadística que muchas veces se pasa por alto/se malinterpreta. A continuación se ha profundizado sobre eso hasta que se ha intentado desviar por otro lado, a pesar de los intentos de reencauzarlo.
El que quiera luego leer otras cosas entre líneas es libre de hacerlo, pero llegar va a llegar hasta donde nos propusimos como meta original.

Si siempre mienten... ya sabes que te mienten; en este caso, ¿necesitas estadísticas?

Sí, a la vista está de que el porcentaje no es 100%, aquí estamos asumiendo que el narrador siempre te miente, pero solo tiene la posibilidad de mentirte cuando sufres una condición negativa, no te puede mentir cuando le dé la gana, tiene unas normas, y toda la estadística que hay calculada es para ver con qué frecuencia vas a recibir esas condiciones.
Llevado a otro ejemplo: si cada vez que sacas un 6 en un dado, haces un golpe crítico, siempre ¿tiene sentido calcular como de frecuente es sacar un 6 en un dado para una jugada?

Esto es 'equivocado'; rara es la partida en la que los jugadores 'buenos' no mienten, por el motivo que sea.

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Aplicar la estadística a la fe, no lo veo.

Es lo que tienen las asunciones, que al final simplificas escenarios que pueden ocurrir. Pero es que este caso lo comento en el post ya: estoy de acuerdo en que los jugadores buenos mienten, de hecho lo comento ahí, el principal motivo es para esconder su rol verdadero. Pero si quieres planteamos el escenario de bueno mintiendo.
Nuestro protagonista es un bueno, gana con los buenos y por tanto su objetivo es juntar toda la información verdadera para resolver la parte del rompecabezas.
El rol de empático es un rol fuerte, que por norma general el equipo malo querrá inutilizar de alguna manera.
Lo "común" es que si un bueno miente, sea un rol importante intentando esconderse en roles que puedan pasar más desapercibidos del foco de los malos.
En el contraescenario que planteas para no poder hacer esta asunción tendríamos: un personaje bueno, que sabe que gana con los buenos, que no es el empático, pero ha decidido que para defender su rol, va a utilizar de farol que es el empático (algo válido, porque puede ganar tiempo dependiendo del pueblo, pero no sé como de frecuente), pero que además ha dicho: "a pesar de que yo tengo que ayudar a resolver el puzzle, no solo voy a mentir con mi rol, sino que voy a esparcir información errónea de un rol que no tengo, sin ningún tipo de información que la respalde y además una de las informaciones más absolutas y que pueden ser más perjudiciales (0=mis vecinos son buenos, confirmando 3 roles)".

Sin querer sacar una norma de esto, porque al final esto no pretende ser una hoja de ruta, no va a ser la estrategia general de un bueno que gana con los buenos. Habrá casos que lo hagan para romper algún meta o generar caos, pero igual que puede haber algún loco que como esbirro revele en plaza a su demonio al empezar el juego porque "patata".

Escenarios que sí que son más factibles de un bueno mintiendo diciendo ser empático y dando su info, suelen estar respaldados por su propio poder, te pongo un ejemplo: yo soy otro rol que sabe que otro jugador es de alineamiento malo, y resulta que en esta partida ese malo es mi vecino, ahí puede que entre en mis planes hacer el teatrillo de que soy el empático y he recibido un 1 (tengo un vecino malo) y luego yo me encargue de empujar al pueblo para matar al que yo sé fijo que es malo (y aún así esta jugada que es beneficiosa sigue siendo arriesgada porque en mi teatrillo puedo estar salvando a mi otro vecino malo que no sé, pero es para que veas que los buenos mentirían siendo un rol más potente para intentar remar en favor del pueblo).
Digamos que mentir siendo bueno está a la orden del día, mentir diciendo que eres empático no tanto, y si además vas a mentir diciendo que tienes un 0 (y por tanto crees que si tu información no está alterada, tus dos vecinos son buenos) estás haciendo un salto que esperemos tenga suficiente red de seguridad (porque tus poderes han podido validar otra cosa).
Habrá casos de buenos mintiendo diciendo que son empáticos, pero, asumiendo que la gente juega bien, cuando hagan estas jugadas arriesgadas estarán respaldadas por su poder o deducciones, por lo que aunque me mientan con su rol, si su fuente de información es legítima los puedo incluir en el grupo de "escenarios beneficiosos", de nuevo, no es algo que pase siempre y para tomar esos riesgos es porque tendrán algo que les respalden.

¿Quién no tiene tanto riesgo para mentir diciendo que es empático? Un malo. No tiene que hacer tanto juicio de valores  por tanto si pudiésemos "parametrizar todas sus decisiones" y hacer la Regla de la Multiplicación (ilusos de nosotros) tendría muchos menos eslabones que la de los buenos.
Un malo puede llegar a saber si hay un empático en juego, y además conoce a los otros malos y por tanto sabe el alineamiento de sus vecinos que podrán ser:

• Los dos buenos, lo cual le da una coartada muy buena si quiere farolear y decir que tiene un 0.
• Al menos uno malo, por lo que si farolea diciendo que tiene un 0 podría estar cubriendo a su/s vecino/s malo/s

Donde podría estar la chicha que le interesa a Calvo es en ver como de probable serían estos escenarios.
El primero al final se resume en un malo fingiendo ser un rol de información y cubriéndose con información verídica que ya conoce.
El segundo es un malo que además está intentando cubrir a sus compañeros, lo cual si se le pilla en algo así, su intento de protegerles podría condenarles.

Vamos a calcular las probabilidades de que, siendo el propio jugador el que recibe la información, reciba un "ninguno/cero" en una partida de 12 jugadores.

Nosotros somos uno de esos 12 jugadores, y somos del alineamiento "bueno". Eso deja a 11 jugadores: otros 8 "buenos" y a 3 "malos" (por las reglas de configuración de la partida). Por tanto tenemos 8/11 probabilidades de tener un bueno a un lado. Para que calcular que ADEMÁS tengamos a un bueno al otro tendremos que multiplicarlo por las 7/10 probabilidades de que al otro lado TAMBIÉN haya un bueno (hemos restado 1 del numerador ya que eliminamos la opción que condiciona este evento, y hemos reducido en uno el numerador porque se ha reducido en uno el número de jugadores).

Es decir 8/11 × 7/10 = 56/110 = 0,51 (aprox) = 51%

Matizaría una cosa aquí, este calculo es válido en este escenario para cualquier jugador cuyo alineamiento sea bueno en el segundo 0 desde que ve su ficha, podríamos llamarlo P(A)= Probabilidad de que mis dos vecinos sean también buenos. Aunque luego este cálculo se aplique para el empático, valdría para cualquier personaje que tenga este alineamiento, un Chef podría llegar hasta este dato la primera noche.

Ahora aquí tenemos otro dato: nos han dicho que nosotros como empáticos tenemos un 0 y esto nos abre varios posibles escenarios, comentaré aquí los dos que nos interesan:

• Que nuestro 0 sea verídico y ambos vecinos sean buenos. (Es lo que queremos saber a fin de cuentas, si nos podemos fiar de nuestros vecinos)
• Que en el caso de que nuestra percepción estuviese alterada por algún efecto, el narrador decidiese mentirnos, y por tanto al menos uno nuestros vecinos es malo. (Con un pequeño matiz, hay varios tipos de alteración, podría ser alteración 1, o alteración 2 o alteración 3 ...) Podriamos resumir en que nuestro 0 sea falso

Si nos fijamos ambos escenarios conectan dos sucesos bajo el término Y, por lo que guiándonos por el glosario sabemos que vamos a tener que hacer intersecciones de sucesos, y por tanto la Regla de la Multiplicación (ya os adelanto que alguna cosa más, que para eso está el glosario).
En concreto nos centraremos en el segundo escenario: por ir agilizando pasos, quizás nos interese saber la probabilidad de que al menos uno de nuestros vecinos sea malo. Esto se puede calcular viendo todas las opciones posibles:

P(Al menos un vecino malo)= P(el vecino de mi izquierda malo y el derecho bueno) o P(el vecino de la izquierda bueno y el derecho malo) o P(El vecino de la izquierda malo y el vecino de la derecha malos) ; si el glosario ha quedado claro aquí deberías ver 3 sumas de probabilidades, donde cada una de ellas tiene que aplicar la regla de la multiplicación dentro de sus paréntesis, y siendo el segundo suceso de cada cual una probabilidad condicionada (pues el número de malos disponibles y el total de roles disponibles disminuye).

Esto aunque calculable puede ser algo tedioso, así que aplicando de nuevo el glosario podemos darle una vuelta de tuerca:
¿Qué significa que al menos uno de mis vecinos sea malo? Pues, intentado estirar un poco la lógica, significa que no se cumple el suceso "mis dos vecinos sean ambos buenos", que es una probabilidad que Calvo ya calculó.
Osea que yo puedo calcular que la probabilidad de al menos un vecino malo es la opuesta/complementaria a la probabilidad de que mis dos vecinos sean ambos buenos.
P(Al menos un malo)= 1- 0.51= 0.49= 49%   Esto que hemos calculado aquí, de nuevo es una probabilidad a segundo 0, con nada de información, pero esta nos va a ser más útil para algunos escenarios. Esto también nos da una información ajena al proposito del post, pero que nos da pistas de como de balanceado está en juego, pues para este numero de jugadores y esta disposición, un jugador nada más ver su ficha de bueno tiene más o menos la mitad de probabilidades de poder fiarse de sus dos vecinos o no.

1) La probabilidad de que seas un borracho. En una partida de 12 jugadores hay 2 forasteros en juego, de 4 posibles. Es decir, 1/2 - la mitad de las veces habrá un borracho* (esto no es exactamente así, ya que depende del narrador y es más frecuente añadir al borracho que a otros forasteros por motivos subjetivos, pero asumiremos que es igual de probable para esta "práctica"). La probabilidad de que nosotros seamos ese borrachos es de 1 de 9 jugadores buenos posible. Es decir, 1/2 x 1/9 = 1/18 probabilidades de ser el borracho.

Pequeña corrección, no todos los jugadores tienen que tener sospechas, un borracho siempre cree que es un aldeano, por lo que el otro forastero no tiene que preocuparse de que es borracho, por lo que eso deja a 8 personas preocupadas.
El cálculo entonces sería 1/2 x 1/8= 1/16 de probabilidades de ser el borracho. Pero a nosotros no nos llega con saber si somos el borracho, estamos buscando un escenario donde estamos ebrios y además nos han dicho algo.
Un pequeño matiz es que, como muchas habilidades de este juego, el borracho tiene el modificador puede lo cual implica que está a discreción del narrador elegir el resultado, para favorecer los cálculos estamos poniéndonos en el caso más pesimista donde siempre que nos afecte algo así nos van a dar información falsa, pero como recordatorio de que la probabilidad podría ser menor según cada narrador (habría que multiplicar por el factor "maldad del narrador" que podría ser menor que 1).
En este escenario pesimista, ¿Cuando podríamos recibir un cero, el cual en este escenario nada amigable va a ser mentira al tener la habilidad alterada al ser borrachos? Pues si tiene que ser mentira implica que "al menos uno de nuestros vecinos sea malo" (49%).
Por tanto la probabilidad de que ese cero sea un "cero de borracho pesimista" es:
1/2*1/8*0.49= 0.03=3.06%

2) La probabilidad de que uno de tus vecinos sea el espía, que es un jugador "malo" pero "parece bueno" al respecto de esta habilidad. Al haber 2 esbirros en juego de 4 posibles existe 1/2 probabilidades de que el espía esté en juego (al igual que con el borracho, esto es impreciso ya que el espía es un rol que no suele añadirse a la partidas de forma proporcional, pero asumiremos que sí para este cálculo). Y ese espía tiene que estar en uno de los lados. Es decir, 1/11 probabilidades de estar en un lado + 1/11 probabilidades de estar en el otro = 2/11 x 1/2 = 1/11 = 0,091 = 9,1%



Es muy importante la diferencia en el cálculo de estas probabilidades respecto las anteriores para entender por qué aquí hemos SUMADO la probabilidad de que el espía esté en un lado a la probabilidad a la probabilidad de que esté en el otro, en lugar de MULTIPLICAR la probabilidad de tener un bueno a un lado y ADEMÁS un bueno al otro como hicimos en el cálculo inicial.

Dos pequeños matices, aquí el proceso de suma está bien, y la explicación del espía también pero falta una cosa en este escenario: aparte de que el vecino sea el espía es necesario que el otro vecino registre como bueno, puesto que si el otro vecino registrase como malo que no tiene capacidad de ocultarse, nuestra habilidad a ese sí que lo detectaría bien.
En este caso el calculo quedaría: 2(1/11 x 1/2 x 8/11) =0.661 = 6.61%
*Al usar 8/11 asumimos para simplificar que no hay un recluso al lado que registrase como malo, el calculo real se haría mediante la suma de dos escenarios, uno donde no hay recluso (la formula de arriba, mutiplicando al final x 1/2 asumiendo que todos los forasteros salen con la misma probabilidad) + un escenario donde hay recluso (y por tanto solo registran como buenos 7/11 y de nuevo la probabilidad de este escenario es 1/2); el porcentaje de esta recalculación es= 0.0619= 6.2% pero como esta habilidad también tiene un puede, queda a discreción del narrador cuando el recluso registrará como malo o no, oscilando entre ambos valores según su decisión.
El segundo matiz es que, de nuevo aplicamos el factor pesimista y asumimos que el espía siempre va a registrar como bueno (que es lo que debería pasar en este caso la mayoría de veces).

4) La probabilidad de que tú estés envenenado y estés recibiendo información falsa. Para eso tiene que estar el envenenador en juego (1/2 probabilidades por el mismo motivo de configuración de partida) y además debe haberte elegido a ti (dado que los "malos" se conocen" elegirán a uno de los 9 "buenos", es decir 1/9 x 1/2 probabilidades de ser el envenenado = 1/18 = 0,055 = 5,5%

Este cálculo de aquí es de los más complejos porque ya entran decisiones de otros jugadores, añadiré matices analizando situaciones óptimas que se podría alejar de estas aproximaciones. Pese a que estoy de acuerdo con usar la aproximación de 1/9 como factor de que te escoja un envenenador aleatoriamente, hay ciertos escenarios que pueden alterar estos números, solo los comentaré porque son muy subjetivos: un envenenador jugando "óptimo" (no pasa) debería darle más peso a envenenar a alguno de los vecinos del equipo malo (siendo un máximo de 6) para así optimizar la probabilidad de cubrir a un compañero del mal de un posible vecino empático, o si es muy egoísta a uno de sus dos vecinos, pudiendo llegar la probabilidad al 1/2  (aquí entran en juego otros factores como que hay más habilidades que pueden sacar información y que si uno de los compañeros es espía, ese esfuerzo de cubrirle no sería tan útil, pero se comenta igual).
Aún así con los cálculos de Calvo, se habría calculado la probabilidad de que "mi detección pueda estar alterada" y volviendo al escenario pesimista de que el narrador siempre nos de info falsa en este caso, pregunto entonces ¿Con mi habilidad alterada, cuando podría recibir solo un cero? Efectivamente, cuando al menos uno de mis vecinos sea malo (49%).
Entonces la probabilidad de tener al menos un vecino malo y recibir un 0 porque aleatoriamente el envenenador me ha escogido es de:
1/2*1/9*0,49=0.027=2,7%

Vale, después de todo este pergamino de cálculos quien haya llegado aquí se estará diciendo: Sí, muy bien, pero, ¿de qué me sirve todo esto?
Pues la respuesta es que, con estos apartados de este post hemos calculado (si no se nos ha pasado nada) los diferentes escenarios donde un cero de empático puede ser falso (siempre desde la visión más pesimista posible).
Entonces podemos decir que, la probabilidad de que un 0 en la primera noche sea falso es: o el "escenario del borracho pesimista" o el "escenario del vecino espía" o el "escenario de vecino de malos envenenado".
Esto está pidiendo a gritos la Regla de la Suma: P(0 falso)= 3,06 + 6,20 +2,7= 11,96 %
Pues último paso, hacer la complementaria, vamos a calcular la probabilidad de que un cero sea NO falso, osea verdadero:
P(0 verdadero)_%= 100 - P(0 falso)_%= 100-12.37=88,04%

Las probabilidades de que la primera noche, cuando la gente aún no tiene mucha información privilegiada (presuntamente) para perjudicarme, de que mi 0 de empático sea verdad son de un 88,04%, recordemos en un escenario pesimista (y también haciendo algunas aproximaciones de malos no óptimos).
Obviamente estos cálculos no son ley en piedra, porque existen otros factores más difíciles de analizar, alguno como la "maldad del narrador" ya se comentó, pero hay otros casos, como por ejemplo que cierto jugador tenga más tendencia a ser el foco de ataques de los malos, esto podría ser un modificador que alterase ese 1/9 del envenenador por ejemplo (llegando al caso más extremo de una persona que nos odie de multiplicar por 1 en vez de 1/9).

Por ahora lo dejo aquí y así repaso que no se nos escapase nada.