¿Sabéis cuánto da la suma infinita de todos los números naturales? Me refiero a:
1+2+3+4+5+6+7+8+... y así con todos los enteros positivos hasta infinito.
¿Cuánto piensas que da? Debe ser un número grande, gigantesco ¿verdad?
Venga, intenta adivinarlo.
No vais a poder
¿Os lo cuento ya?
El resultado de esta suma es conocido, y es completa y absolutamente flipante. El resultado de esta suma infinita es -1/12 (menos un doceavo). Sí, habéis leído bien, sumar todos los números naturales da como resultado un número negativo y de valor absoluto inferior a 1. Justo lo que no pensabas que iba a ser.
¿Pero cómo puede ser esto? Si paras la serie en alguna parte, obtienes un número enorme y positivo, ¿me estás contando que la "infinitud" de la serie rompe las reglas intuitivas y convierte el resultado en -1/12? ¿Qué magia no-convergente es ésta?
Pues sí. Esto no es un truco ni una ilusión, esto es un cálculo matemático real que de hecho ya se ha empleado en algunos estudios físicos. Lo mejor de todo es que su demostración, aunque algo larga, es tan sencilla que hasta un niño puede entenderlo, y resulta muy interesante.
S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12
Vamos a demostrarlo:
Para calcular S antes tenemos que calcular un par de series distintas. La primera es la serie A:
A= 1-1+1-1+1-1+1-1...
A es una suma de unos, positivos en términos impares y negativos en pares. Uno más uno menos uno más uno menos uno...
Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. Ummmm.... ¿dará cero o dará uno? Vamos a calcular de verdad:
El resultado real se consigue dándonos cuenta que 1-A da la misma serie que la propia A:
1-A = 1- (1-1+1-1+...) = 1-1+1-1+1-... = A
Sabiendo que 1-A=A, despejamos A=1/2. Resulta bastante intuitivo que el resultado bueno en vez de ser 0 ó 1, sea la media de cero y uno. Ni pa ti ni pa mí. Ya tenemos esta.
La segunda serie que hace falta analizar es B, la suma de todos los números naturales, pero a diferencia de S en la que todos suman, en B suman los términos impares y restan los pares:
B=1-2+3-4+5-6+7...
Esta serie se calcula sumando dos veces B, pero desplazando la suma una posición a la derecha:
B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +...
+ B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
--------------------------------------------
2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 -...
Ese resultado me suena. Anda mira, el doble de B es igual a A, la cual ya sabemos que da 1/2. Así que 2B=1/2, por tanto despejamos B=1/4. Ya tenemos esta otra también.
Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para calcular la suma de todos los números naturales. Entremos a matar:
El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +...
- B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -...
--------------------------------------------
S-B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 +0 +...
Entonces tenemos que S-B=4+8+12+16+20+... .Esta también es una suma infinita, que aumenta de 4 en 4.
Sacamos 4 como factor común y tenemos que S-B=4*(1+2+3+4+5+6+7...)
Mira, lo que está entre paréntesis es la propia serie S, así que podemos escribir:
S-B=4*S. Sabiendo que B=1/4, sustituimos:
S-1/4=4*S. Y de aquí no cuesta mucho despejar que S=-1/12
Por tanto:
S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12