Distribución binominal

Hoy para calcular las probabilidades de Pocket League Soccer, un juego de dados y manager de fútbol que estoy diseñando aprovechando que empieza el mundial de fútbol en dos semanas, tuve que echar mano de la distribución binomial. De algo ha tenido que servirme estudiar Estadística. Y digo, ¿por qué no escribir una entrada explicando cómo se calculan?. Este es el resultado.

Para los lanzamientos de dados o extracción de cartas de una baraja se puede calcular a grandes rasgos de tres maneras: por el cuento de la vieja (y esto puede ser complicado), aplicando probabilidad casos favorales/casos totales y mucho más sencillo con la distribución binomial.

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

No voy a explicar el fundamento matemático que hay detrás, solo voy a intentar explicar como aplicarlo para lo que nos ocupa. Todo experimento que tenga estas características, y el lanzamiento de dados con las mismas caras lo cumple, se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial.

Latex formula

  • n=número de lanzamientos, número entero y mayor que 0.
  • p = probabilidad, entre 0 y 1, número real.
  • x = número de éxitos.
  • n-x = número de fracasos.

Primer caso. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 en un lanzamiento de un dado de seis caras (1d6)?

Latex formula

Segundo caso. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos 2 en 2d6?

Latex formula

Tercer caso. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lanzamiento de 6d6 no obtenga ningún 2?

Latex formula

Cuarto caso. El caso contrario, ¿cuál es la probabilidad de en 6d6 saque al menos un 2?

Latex formula

Quinto caso, y quizás el más interesante. ¿Cuál es la probabilidad en obtener exactamente en 6d6 un único 2?

Latex formula

Con esto ya tengo todo listo para calcular las probabilidades de mi juego. Espero que os haya servido de ayuda.

Bola extra. Si no te apetece ir calculándolo todo a mano la excel tiene la binomial entre sus fórmulas =DISTR.BINOM.N(x;n;p;FALSO). En esta entrada, en esta otra por ejemplo, te explica cómo calcularlo.

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5 thoughts on “Distribución binominal

  1. Muchas gracias por la explicación Wkr. Por desgracia, sin una buena base detrás, como la que tu tienes, cuesta entender las fórmulas avanzadas aunque tengamos excel. Por ejemplo, de qué serviría calcular la probabilidad de que te salga un único 2 en la última fórmula? Creo que voy a ir tirando de la primera fórmula para todo, que de ahí no paso 😀
    Gracias de nuevo 🙂

  2. Todas las formulas es aplicar n, x y p según cada caso. Simplemente hay que sustituir los datos que ya conocemos. Intento explicarme mejor.

    n es el número de dados que se lanzan o el número de veces que se roba de un mazo.

    x es los casos favorables de que el resultado del dado o la carta que robe sea lo que yo quiero (por ejemplo, un 2 o una figura).

    Y p es la probabilidad de que ocurra ese caso favorable. En el mismo ejemplo, en 1d6 sacar un 2 es 1/6; y en la baraja de 54 cartas sacar una figura es 12/54 (hay 12 figuras en 54 cartas).

    Para calcularlo hay que aplicar factoriales y potencias, como con algunas calculadoras es un poco engorroso, por eso puse la fórmula de excel. En ella basta con sustituir estas 3 variables y lo calcula directamente.

    =DISTR.BINOM.N(x;n;p;FALSO).

    Facilita mucho las cosas.

    Sobre el caso de salir un único 2 en 6 dados depende de lo que busques, en mi caso si es útil. Por ejemplo, si cada cara del dado sirve para hacer una acción diferente en el juego. Yo quiero saber (por mecanismos del juego) si lanzando 6 dados voy a sacar una única cara “que me permite construir”.

    Si lo que quiero es saber si al menos voy a sacar un resultado “que me permita construir” lo que tengo que hacer es calcular lo contrario. Es decir, calcular la probabilidad de “que no pueda construir” y el resultado restárselo a 1. Que es el ejemplo que pongo de “al menos un 2” en un lanzamiento de 6 dados.

  3. La verdad, el juego no me interesa nada porque mezcla fútbol y dados, que los intento evitar a toda costa.
    Pero te ha quedado una entrada preciosa, mis felicitaciones *-*
    Aunque puede que no tenga una opinión parcial, quién sabe xD
    Pero está perfectamente explicado; quien lo lea, con que le dedique un rato a leerlo con calma, lo entenderá fijo.

  4. Gracias darkfonix.

    Sobre la temática es perfectamente intercambiable. De hecho lo había pensado para otra temática, pero al final cambié de idea.

    Yo soy de la opinión que a todo juego se le puede cambiar su temática sin que pierda gracia. Soy más de la opinión que la temática en un juego se pone para vender (como marketing). Esto da para un debate.

    Y el 2014 es el año de los juegos de mesa de dados. No hay que ver la cantidad de ellos que están apareciendo.

    Y aprovecho la entrada para avanzar que igual otro día le dedico una entrada a la distribución normal, para que así se pueda calcular probabilidades de suma de lanzamientos de dados.

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